p = x² + ny² と Hilbert 類体

系 8.3（「類体論」§8）・ △証明あり（閉包未完）

$n$ を平方因子のない正の整数で $n \not\equiv 3 \bmod 4$ とし、 $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-n})$ 、 $H$ をその Hilbert 類体とする。 $2n$ を割らない素数 $p$ について

p = x^2 + ny^2\ (x, y \in \mathbb{Z}) \iff p \text{ は } H \text{ で完全分解する}.

$n = 5$ のとき $H = \mathbb{Q}(\sqrt{-5}, i)$ であり、素数 $p \ne 2, 5$ について

p = x^2 + 5y^2 \iff p \equiv 1, 9 \bmod 20 .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

△ 証明あり（閉包未完）

証明は Rikai にありますが、たどった先に主張のみの定理（または循環）があり、公理まではつながっていません。止めている前提:

Hilbert 類体△系 8.1・類体論

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

二次体の整数環と判別式✓命題 8.1・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 代数的整数の最小多項式✓命題 2.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 加群による整性の判定✓補題 2.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - ユークリッドの補題（一般形）✓補題 2.2・整除と素因数分解この先をたどる →
- トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 埋め込みの個数✓補題 3.1・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 代数的整数の最小多項式✓命題 2.4・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質この先をたどる →
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
  - 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質この先をたどる →
  - 相似不変量✓命題 2.2・対角化とジョルダン標準形この先をたどる →
イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 位数の分解✓系 5.2・群の準同型定理
  - 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理この先をたどる →
  - 核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理この先をたどる →
- 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類この先をたどる →
Hilbert 類体△系 8.1・類体論
- Artin の相互法則※定理 7.1・類体論
- イデールとイデアル類群✓定理 6.1・アデールとイデールこの先をたどる →
- 大域の存在定理※定理 7.3・類体論
中間体での完全分解・不分岐の判定✓系 4.2・分解群・惰性群・Frobenius 元
- 分解群の完全列✓定理 3.4・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
- 分岐指数と剰余次数は塔で乗法的✓補題 2.2・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
- ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待この先をたどる →
- 横たわり定理✓定理 4.4・整拡大この先をたどる →
- Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
類数の有限性✓定理 4.3・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
- 分数イデアル定義 4.6・代数体の整数環と Dedekind 整域
- Minkowski 限界✓定理 4.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界この先をたどる →
- 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
合成体での不分岐・完全分解の遺伝✓系 4.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
- 中間体での完全分解・不分岐の判定✓系 4.2・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
二次体での素数の分解✓命題 8.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 二次体の整数環と判別式✓命題 8.1・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- Kummer–Dedekind の判定法✓定理 7.1・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- ルジャンドル記号定義 3.2・原始根と平方剰余の相互法則
平方剰余の相互法則（ガウス）✓定理 5.3・原始根と平方剰余の相互法則
- アイゼンシュタインの補題✓補題 5.1・原始根と平方剰余の相互法則この先をたどる →
- 格子点の数え上げ✓補題 5.2・原始根と平方剰余の相互法則

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

p = x² + ny² と Hilbert 類体

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）