Hilbert 類体

$K$ を代数体、$H = H_K$ を Hilbert 類体とする。

1. $\mathrm{Gal}(H/K) \cong \mathrm{Cl}(K)$ で、$[H:K] = h_K$ である。
2. $H/K$ はすべての有限素点で不分岐で、$K$ の実素点の上の素点はすべて実である。$L/K$ が同じ性質をもつ有限次 Abel 拡大ならば $L \subseteq H$ である。
3. Artin 写像 $\mathrm{Art}_{H/K} : \mathrm{Div}(K) \to \mathrm{Gal}(H/K)$ の核は単項分数イデアルの群 $P(K)$ である。特に、$K$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ が $H$ で完全分解することと、$\mathfrak{p}$ が単項イデアルであることは同値で、一般に $\mathfrak{p}$ の $H$ での剰余次数は $\mathfrak{p}$ の類の $\mathrm{Cl}(K)$ での位数に等しい。