大域の存在定理

$K$ を代数体とし、代数閉包 $\overline{K}$ を固定する。対応 $L \mapsto N_{L/K}C_L$ は、$\overline{K}$ に含まれる $K$ の有限次 Abel 拡大の全体から、$C_K$ の開部分群（定理 7.3［アデールとイデール］ により指数有限）の全体への、包含関係を逆にする全単射である。さらに $N(LL') = N(L) \cap N(L')$、$N(L \cap L') = N(L)N(L')$ が成り立つ（$N(L) := N_{L/K}C_L$）。