数学 › 代数的整数論・類体論 › 分解群・惰性群・Frobenius 元

合成体での不分岐・完全分解の遺伝

系 4.3（「分解群・惰性群・Frobenius 元」§4） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 178 件、定義なども含めて 195 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 中間体での完全分解・不分岐の判定✓系 4.2・分解群・惰性群・Frobenius 元

  • 分解群の完全列✓定理 3.4・分解群・惰性群・Frobenius 元

    • Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
    • 軌道・安定化群の公式✓定理 2.4・群の作用と Sylow の定理

      • 左剰余類の基本性質✓補題 5.2・部分群と剰余類 この先をたどる →
      • ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類 この先をたどる →
    • 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大

      • 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類 この先をたどる →
    • 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域

      • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
    • 有限体の拡大の自己同型群✓補題 3.3・分解群・惰性群・Frobenius 元

      • フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
      • 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
      • 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
    • 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理

      • 核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理 この先をたどる →
      • ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理 この先をたどる →
      • 群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
      • 単射性の判定✓命題 4.4・群の準同型定理 この先をたどる →
      • 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理 この先をたどる →
      • 同型写像と同型定義 3.2・群の準同型定理
  • 分岐指数と剰余次数は塔で乗法的✓補題 2.2・分解群・惰性群・Frobenius 元

    • 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
    • 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元

      • Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環 この先をたどる →
      • 分離拡大での整閉包の有限性✓命題 6.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理 この先をたどる →
      • 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大 この先をたどる →
      • 一般の Dedekind 環での基本等式✓定理 8.2・離散付値環と Dedekind 環 この先をたどる →
      • 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大 この先をたどる →
    • イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域

      • 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
  • ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待

    • 同型の延長の個数✓補題 7.5・ガロア理論への招待

      • 分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
      • 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
      • 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
    • アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待

      • デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
    • 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
    • 自己同型は根を置換する✓補題 3.2・ガロア理論への招待 この先をたどる →
    • 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理（上で展開済み）
  • 横たわり定理✓定理 4.4・整拡大

    • 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
    • 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大 この先をたどる →
    • 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
    • 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元

    • 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
    • ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待（上で展開済み）
    • 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

• p = x² + ny² と Hilbert 類体△系 8.3・類体論
• 順分岐の除去✓補題 7.4・円分体と Kronecker–Weber の定理
• p だけで分岐する次数 p の巡回体の一意性✓補題 7.6・円分体と Kronecker–Weber の定理
• p だけで分岐する p 冪次の Abel 拡大✓補題 7.7・円分体と Kronecker–Weber の定理
• 完全分解する素イデアルが Galois 拡大を決める（Bauer）✓系 9.2・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

関連するノック 1 問

• 代数的整数論・類体論 第 14 問