数学 › 代数的整数論・類体論 › 円分体と Kronecker–Weber の定理

p だけで分岐する p 冪次の Abel 拡大

補題 7.7（「円分体と Kronecker–Weber の定理」§7） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 340 件、定義なども含めて 378 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 有限生成アーベル群の基本定理✓系 6.1・加群と PID 上の構造定理

  • PID 上の有限生成加群の構造定理（不変因子形）✓定理 5.1・加群と PID 上の構造定理

    • 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
    • スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理
    • 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
  • 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
  • 素冪因子形✓命題 5.2・加群と PID 上の構造定理 この先をたどる →
• 素数べきと 2 × 素数べきの原始根✓定理 2.8・原始根と平方剰余の相互法則

  • 素数を法とする原始根の存在✓定理 2.5・原始根と平方剰余の相互法則 この先をたどる →
  • $1 + p^j t$ の p 乗✓補題 2.7・原始根と平方剰余の相互法則
  • 位数の基本性質✓補題 2.2・原始根と平方剰余の相互法則 この先をたどる →
  • gcd と lcm の関係✓命題 2.4・整除と素因数分解 この先をたどる →
• 素数冪の円分体✓定理 3.3・円分体と Kronecker–Weber の定理

  • 基本等式✓定理 5.4・代数体の整数環と Dedekind 整域

    • イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
  • 円分多項式の既約性✓定理 2.3・円分体と Kronecker–Weber の定理 この先をたどる →
  • 円分多項式は整数係数✓補題 2.2・円分体と Kronecker–Weber の定理
  • Dedekind の巡回型定理✓定理 5.3・分解群・惰性群・Frobenius 元 この先をたどる →
  • 局所的に等しければ等しい✓補題 3.2・円分体と Kronecker–Weber の定理
  • 完全分岐なら素元で生成される✓補題 9.2・分解群・惰性群・Frobenius 元 この先をたどる →
  • 微分が単元なら単生成✓補題 3.1・円分体と Kronecker–Weber の定理 この先をたどる →
  • 判別式は共役差積のノルム✓命題 8.5・分解群・惰性群・Frobenius 元 この先をたどる →
  • Euler の補題と単生成の場合の共役差積✓命題 8.6・分解群・惰性群・Frobenius 元 この先をたどる →
• 合成体での不分岐・完全分解の遺伝✓系 4.3・分解群・惰性群・Frobenius 元

  • 中間体での完全分解・不分岐の判定✓系 4.2・分解群・惰性群・Frobenius 元 この先をたどる →
• p だけで分岐する次数 p の巡回体の一意性✓補題 7.6・円分体と Kronecker–Weber の定理

  • 合成体での不分岐・完全分解の遺伝✓系 4.3・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
  • 惰性群の生成と制限✓補題 7.2・円分体と Kronecker–Weber の定理 この先をたどる →
  • 高次分岐群の構造✓定理 9.3・分解群・惰性群・Frobenius 元 この先をたどる →
  • 共役差積の推移律✓定理 8.4・分解群・惰性群・Frobenius 元 この先をたどる →
  • 次数 p の巡回体の共役差積✓補題 7.5・円分体と Kronecker–Weber の定理 この先をたどる →
  • Hilbert の公式✓定理 9.4・分解群・惰性群・Frobenius 元 この先をたどる →
• 二次体の整数環と判別式✓命題 8.1・代数体の整数環と Dedekind 整域

  • 代数的整数の最小多項式✓命題 2.4・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
  • 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
  • トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
• 判別式を割る素数は分岐する✓定理 6.3・代数体の整数環と Dedekind 整域

  • イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
  • 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
  • 分岐する素数は判別式を割る✓定理 6.1・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  • 有限体のトレース形式✓補題 6.2・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
  • 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質 この先をたどる →
  • 整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
• 分岐する素数は判別式を割る✓定理 6.1・代数体の整数環と Dedekind 整域

  • 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
  • トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
  • 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質 この先をたどる →
• 素数冪次数の巡回拡大への還元✓補題 7.3・円分体と Kronecker–Weber の定理

  • 有限生成アーベル群の基本定理✓系 6.1・加群と PID 上の構造定理（上で展開済み）
  • ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• Kronecker–Weber の定理✓定理 7.8・円分体と Kronecker–Weber の定理