数学 › 代数的整数論・類体論 › 円分体と Kronecker–Weber の定理

素数冪の円分体

定理 3.3（「円分体と Kronecker–Weber の定理」§3） ・ ✓公理まで証明済み

pp を素数、k≥1k \ge 1、n=pkn = p^k、ζ=ζn\zeta = \zeta_n、K=Q(ζ)K = \mathbb{Q}(\zeta)、λ=1−ζ\lambda = 1 - \zeta とする。

  1. Φn(X)=∑j=0p−1Xjpk−1\Phi_n(X) = \sum_{j=0}^{p-1}X^{jp^{k-1}}、Φn(1)=p\Phi_n(1) = p。gcd⁡(a,p)=1\gcd(a, p) = 1 なら (1−ζa)/(1−ζ)(1 - \zeta^a)/(1 - \zeta) は Z[ζ]\mathbb{Z}[\zeta] の単元である。
  2. λOK\lambda\mathcal{O}_K は素イデアルで、pOK=(λOK)φ(n)p\mathcal{O}_K = (\lambda\mathcal{O}_K)^{\varphi(n)}。すなわち pp は KK で完全分岐し、剰余次数は 11 である。pp 以外の素数は KK で不分岐である。
  3. OK=Z[ζ]\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\zeta]。
  4. ∣dK∣=p pk−1(pk−k−1)|d_K| = p^{\,p^{k-1}(pk - k - 1)}。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 200 件、定義なども含めて 220 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 5 件