数学 › 代数的整数論・類体論 › 円分体と Kronecker–Weber の定理

円分体の単数

命題 6.2（「円分体と Kronecker–Weber の定理」§6） ・ ✓公理まで証明済み

K=Q(ζn)K = \mathbb{Q}(\zeta_n)、K+=K∩RK^{+} = K \cap \mathbb{R} とし、複素共役を x↦xˉx \mapsto \bar x と書く。

  1. n=pkn = p^k（pp は素数）で gcd⁡(a,p)=1\gcd(a, p) = 1 のとき、(1−ζna)/(1−ζn)(1 - \zeta_n^a)/(1 - \zeta_n) は OK\mathcal{O}_K の単数である（円分単数）。
  2. 任意の nn と単数 u∈OK×u \in \mathcal{O}_K^{\times} について、u/uˉu/\bar u は 1 の冪根である。
  3. n=pkn = p^k、pp が奇素数のとき、KK に含まれる 1 の冪根は ±ζnj\pm\zeta_n^j に限られ、任意の単数 u∈OK×u \in \mathcal{O}_K^{\times} は u=ζnru+u = \zeta_n^r u_{+}（r∈Zr \in \mathbb{Z}、u+∈OK+×u_{+} \in \mathcal{O}_{K^{+}}^{\times}）と書ける。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 202 件、定義なども含めて 222 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。