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解析的類数公式

定理 5.3（「Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数」§5）・ ✓公理まで証明済み

代数体 $K$ について

\lim_{s \to 1}(s - 1)\zeta_K(s) = \frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}\,h_KR_K}{w_K\sqrt{|d_K|}}

である。ここで $h_K$ は類数、 $R_K$ は単数規準、 $w_K$ は $K$ に含まれる 1 の冪根の個数、 $d_K$ は判別式である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 225 件、定義なども含めて 258 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Dedekind ゼータ関数の Euler 積と s = 1 の極✓定理 5.2・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- Euler 積と対数✓補題 3.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
  - 基本等式✓定理 5.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
    イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - オイラー積表示✓定理 3.1・リーマン予想とは何か
    二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定この先をたどる →
    算術の基本定理✓定理 4.2・素数の魅力と素数定理この先をたどる →
  - イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域
    素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- 射線類ごとの整イデアルの個数✓系 4.6・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
  - 射線類群のイデールによる表示と有限性✓定理 7.2・アデールとイデールこの先をたどる →
  - Q のイデール類群✓命題 7.4・アデールとイデール
    制限直積は局所コンパクト群✓命題 3.2・アデールとイデールこの先をたどる →
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 単数の作用の基本錐✓補題 4.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数（上で展開済み）
  - Lipschitz な境界をもつ領域の格子点✓補題 4.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数（上で展開済み）
  - 単数規準の基本性質✓補題 4.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- 部分和の評価と収束半平面✓補題 2.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
  - ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理この先をたどる →
  - ゼータ関数の有理型接続と単純極✓定理 4.3・リーマン予想とは何か（上で展開済み）
- 類数の有限性✓定理 4.3・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
  - 分数イデアル定義 4.6・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - Minkowski 限界✓定理 4.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界この先をたどる →
  - 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
ゼータ関数の有理型接続と単純極✓定理 4.3・リーマン予想とは何か
- ディリクレのエータ関数✓補題 4.2・リーマン予想とは何か
- 解析接続定義 4.1・リーマン予想とは何か
イデアル類ごとの整イデアルの個数✓定理 4.5・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 位数の分解✓系 5.2・群の準同型定理この先をたどる →
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - 整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類この先をたどる →
- 単数の作用の基本錐✓補題 4.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
  - Lipschitz な境界をもつ領域の格子点✓補題 4.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数（上で展開済み）
  - 単数規準の基本性質✓補題 4.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
  - 変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
- 整イデアルの余体積✓命題 3.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
  - 整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 基本領域の性質✓補題 2.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
    線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
  - イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- Lipschitz な境界をもつ領域の格子点✓補題 4.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
  - 基本領域の性質✓補題 2.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 3 件

素イデアルのノルムの逆数和✓補題 6.2・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
L(1, χ) ≠ 0✓定理 7.2・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
二次体の類数公式✓系 8.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

解析的類数公式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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