数学 › 代数的整数論・類体論 › Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

射線類指標の L 関数と素イデアルの密度

命題 6.4（「Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数」§6）・ ✓公理まで証明済み

上の状況で次が成り立つ。

$\chi \ne 1$ ならば $L(s, \chi)$ は $\mathrm{Re}\,s \gt 1 - 1/n$ の正則関数に延び、恒等的に $0$ ではない。 $\chi = 1$ ならば $\mathrm{Re}\,s \gt 1 - 1/n$ に有理型に延び、 $s = 1$ に 1 位の極をもつ。
$\chi \ne 1$ に対し、 $L(s, \chi)$ の $s = 1$ での零点の位数を $m(\chi) \ge 0$ とする（ $L(1, \chi) \ne 0$ なら $m(\chi) = 0$ ）。 $s \to 1 + 0$ で

h_H\sum_{\mathfrak{p} \in H}\frac{1}{N\mathfrak{p}^{s}} = \Bigl(1 - \sum_{\chi \ne 1}m(\chi)\Bigr)\log\frac{1}{s - 1} + O(1)

である。特に $\sum_{\chi \ne 1}m(\chi) \le 1$ で、 $H$ に属する素イデアルの集合の密度は $(1 - \sum_{\chi \ne 1}m(\chi))/h_H$ である。 3. すべての $\chi \ne 1$ で $L(1, \chi) \ne 0$ ならば、 $I^{\mathfrak{m}}/H$ の各類 $c$ に属する素イデアルの集合の密度は $1/h_H$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 235 件、定義なども含めて 268 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Dedekind ゼータ関数の Euler 積と s = 1 の極✓定理 5.2・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- Euler 積と対数✓補題 3.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数（上で展開済み）
- 射線類ごとの整イデアルの個数✓系 4.6・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
  - 射線類群のイデールによる表示と有限性✓定理 7.2・アデールとイデールこの先をたどる →
  - Q のイデール類群✓命題 7.4・アデールとイデールこの先をたどる →
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 単数の作用の基本錐✓補題 4.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数この先をたどる →
  - Lipschitz な境界をもつ領域の格子点✓補題 4.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数この先をたどる →
  - 単数規準の基本性質✓補題 4.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- 部分和の評価と収束半平面✓補題 2.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
  - ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理この先をたどる →
  - ゼータ関数の有理型接続と単純極✓定理 4.3・リーマン予想とは何かこの先をたどる →
- 類数の有限性✓定理 4.3・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
  - 分数イデアル定義 4.6・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - Minkowski 限界✓定理 4.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界この先をたどる →
  - 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
指標の直交関係✓補題 3.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- 有限アーベル群の双対✓補題 5.3・S 単数と Kummer 理論
  - 有限生成アーベル群の基本定理✓系 6.1・加群と PID 上の構造定理この先をたどる →
Euler 積と対数✓補題 3.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- 基本等式✓定理 5.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- オイラー積表示✓定理 3.1・リーマン予想とは何か
  - 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定この先をたどる →
  - 算術の基本定理✓定理 4.2・素数の魅力と素数定理この先をたどる →
- イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 位数の分解✓系 5.2・群の準同型定理この先をたどる →
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類この先をたどる →
一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質
- 零点の孤立性✓補題 7.2・正則関数の強力な性質
  - テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質
- 一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
- コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
  - コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質
- コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
素イデアルのノルムの逆数和✓補題 6.2・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- Euler 積と対数✓補題 3.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数（上で展開済み）
- 解析的類数公式✓定理 5.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数この先をたどる →
零点が無ければ対数は有界✓補題 6.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

これを使っている定理証明で参照している 3 件

Chebotarev の密度定理△定理 8.6・類体論
Dirichlet の算術級数定理✓定理 7.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
ノルム群の指数の上界（第 2 不等式）✓定理 9.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

射線類指標の L 関数と素イデアルの密度

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件