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QpQ_p の Abel 拡大と円分拡大の相互写像

定理 4.6（「類体論」§4） ・ ✓公理まで証明済み

pp を素数とする。

  1. Qp\mathbb{Q}_p の有限次 Abel 拡大は、ある m≥1m \ge 1 について Qp(ζm)\mathbb{Q}_p(\zeta_m) に含まれる。
  2. m=pkm′m = p^km'（p∤m′p \nmid m'）とし、ff を pp の (Z/m′Z)×(\mathbb{Z}/m'\mathbb{Z})^{\times} での位数とする。x=paux = p^au（a∈Za \in \mathbb{Z}、u∈Zp×u \in \mathbb{Z}_p^{\times}）に、
θm(x):ζm′↦ζm′ pa,ζpk↦ζpk u−1\theta_m(x) : \quad \zeta_{m'} \mapsto \zeta_{m'}^{\,p^a}, \qquad \zeta_{p^k} \mapsto \zeta_{p^k}^{\,u^{-1}}

で定まる Qp(ζm)\mathbb{Q}_p(\zeta_m) の自己同型を対応させる写像 θm:Qp×→Gal(Qp(ζm)/Qp)\theta_m : \mathbb{Q}_p^{\times} \to \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}_p(\zeta_m)/\mathbb{Q}_p) は全射準同型で、核は ⟨pf⟩×U(k)\langle p^f\rangle \times U^{(k)} である（U(k)=1+pkZpU^{(k)} = 1 + p^k\mathbb{Z}_p、U(0)=Zp×U^{(0)} = \mathbb{Z}_p^{\times}）。 3. N(Qp(ζm′)×)=⟨pf⟩×Zp×N(\mathbb{Q}_p(\zeta_{m'})^{\times}) = \langle p^f\rangle \times \mathbb{Z}_p^{\times} であり、pp が奇数のとき N(Qp(ζpk)×)=⟨p⟩×U(k)N(\mathbb{Q}_p(\zeta_{p^k})^{\times}) = \langle p\rangle \times U^{(k)} である。すなわち、これらの体では θ\theta の核はノルム群に一致する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 233 件、定義なども含めて 259 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 15 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。