$ℚ_p$ の平方元

命題 6.6（「付値と完備化」§6）・ ✓公理まで証明済み

$p$ を奇素数とする。 $u \in \mathbb{Z}_p^{\times}$ が $\mathbb{Q}_p$ で平方であることと、 $u \bmod p$ が $\mathbb{F}_p$ で平方であることは同値である。 $\mathbb{Q}_p^{\times}/(\mathbb{Q}_p^{\times})^2$ は位数 $4$ の群 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$ で、 $p$ を法として平方非剰余な単数 $u$ を取ると $\{1, u, p, up\}$ が代表系である。
$u \in \mathbb{Z}_2^{\times}$ が $\mathbb{Q}_2$ で平方であることと、 $u \equiv 1 \pmod 8$ は同値である。 $\mathbb{Q}_2^{\times}/(\mathbb{Q}_2^{\times})^2$ は位数 $8$ の群 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$ で、 $\{\pm 1, \pm 5, \pm 2, \pm 10\}$ が代表系である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 32 件、定義なども含めて 40 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

$ℤ_p$ の単数群✓命題 6.5・付値と完備化
- DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環
  - 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環
    局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 付値と付値環の対応✓命題 2.3・離散付値環と Dedekind 環
    付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
- $ℚ_p$ の 1 の冪根と Teichmüller 代表✓系 6.4・付値と完備化
  - Hensel の補題✓定理 6.1・付値と完備化（上で展開済み）
  - $1 + pℤ_p$ に捩れはない✓補題 6.3・付値と完備化
  - $ℤ_p$ と $ℚ_p$ の基本性質✓定理 5.2・付値と完備化
    離散付値体の完備化と逆極限✓命題 4.3・付値と完備化（上で展開済み）
    局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
    距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間この先をたどる →
    コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性この先をたどる →
Hensel の補題✓定理 6.1・付値と完備化
- 非 Archimedes 的な完備体での級数✓補題 4.4・付値と完備化
- 離散付値体の完備化と逆極限✓命題 4.3・付値と完備化
  - 完備化の存在と一意性✓定理 4.2・付値と完備化
    実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
    非 Archimedes 性の判定✓命題 2.3・付値と完備化
  - DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
- I 進完備化・完備局所環定義 3.2・完備化と Artin–Rees の補題
- Hensel の補題✓定理 7.3・完備化と Artin–Rees の補題
  - モニック多項式による割り算✓補題 7.2・完備化と Artin–Rees の補題

これを使っている定理証明で参照している 2 件

$Q_p$ の Abel 拡大と円分拡大の相互写像✓定理 4.6・類体論
Hilbert 記号の計算と x² + y² + z² = 0 の局所可解性✓命題 9.2・付値と完備化

Qpℚ_pQp​ の平方元

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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関連するノック 6 問

$ℚ_p$ の平方元

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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