数学 › 代数的整数論・類体論 › 付値と完備化

$ℚ_p$ の 1 の冪根と Teichmüller 代表

系 6.4（「付値と完備化」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 30 件、定義なども含めて 38 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Hensel の補題✓定理 6.1・付値と完備化

  • 非 Archimedes 的な完備体での級数✓補題 4.4・付値と完備化
  • 離散付値体の完備化と逆極限✓命題 4.3・付値と完備化

    • 完備化の存在と一意性✓定理 4.2・付値と完備化

      • 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
      • 閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
      • 非 Archimedes 性の判定✓命題 2.3・付値と完備化
    • DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環

      • 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環 この先をたどる →
      • 付値と付値環の対応✓命題 2.3・離散付値環と Dedekind 環 この先をたどる →
  • I 進完備化・完備局所環定義 3.2・完備化と Artin–Rees の補題
  • Hensel の補題✓定理 7.3・完備化と Artin–Rees の補題

    • モニック多項式による割り算✓補題 7.2・完備化と Artin–Rees の補題
• $1 + pℤ_p$ に捩れはない✓補題 6.3・付値と完備化
• $ℤ_p$ と $ℚ_p$ の基本性質✓定理 5.2・付値と完備化

  • 離散付値体の完備化と逆極限✓命題 4.3・付値と完備化（上で展開済み）
  • 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトル

    • 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル

      • 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
    • 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
    • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環

      • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
      • 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
      • 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  • 閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
  • 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間

    • ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
  • コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性

    • 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• $ℤ_p$ の単数群✓命題 6.5・付値と完備化

関連するノック 2 問

• 代数的整数論・類体論 第 18 問
• 代数的整数論・類体論 第 29 問