Hilbert 記号の計算と x² + y² + z² = 0 の局所可解性

命題 9.2（「付値と完備化」§9）・ ✓公理まで証明済み

$p$ を素数とする。

$p$ が奇数で $u, w \in \mathbb{Z}_p^{\times}$ なら $(u, w)_p = 1$ 。
$p$ が奇数で $u \in \mathbb{Z}_p^{\times}$ なら $(u, p)_p = \left(\dfrac{\bar u}{p}\right)$ （ $\bar u$ は $u \bmod p$ 。右辺は Legendre 記号）。
方程式 $x^2 + y^2 + z^2 = 0$ は、 $p$ が奇数なら $\mathbb{Q}_p$ に $(0, 0, 0)$ でない解をもち、 $\mathbb{Q}_2$ と $\mathbb{R}$ にはもたない。すなわち $(-1, -1)_p = 1$ （ $p$ は奇数）、 $(-1, -1)_2 = (-1, -1)_\infty = -1$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 33 件、定義なども含めて 41 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Hensel の補題✓定理 6.1・付値と完備化
- 非 Archimedes 的な完備体での級数✓補題 4.4・付値と完備化
- 離散付値体の完備化と逆極限✓命題 4.3・付値と完備化
  - 完備化の存在と一意性✓定理 4.2・付値と完備化
    実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
    非 Archimedes 性の判定✓命題 2.3・付値と完備化
  - DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環
    付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
    付値と付値環の対応✓命題 2.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- I 進完備化・完備局所環定義 3.2・完備化と Artin–Rees の補題
- Hensel の補題✓定理 7.3・完備化と Artin–Rees の補題
  - モニック多項式による割り算✓補題 7.2・完備化と Artin–Rees の補題
$ℚ_p$ の平方元✓命題 6.6・付値と完備化
- $ℤ_p$ の単数群✓命題 6.5・付値と完備化
  - DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
  - $ℚ_p$ の 1 の冪根と Teichmüller 代表✓系 6.4・付値と完備化
    Hensel の補題✓定理 6.1・付値と完備化（上で展開済み）
    $1 + pℤ_p$ に捩れはない✓補題 6.3・付値と完備化
    $ℤ_p$ と $ℚ_p$ の基本性質✓定理 5.2・付値と完備化この先をたどる →
- Hensel の補題✓定理 6.1・付値と完備化（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Hilbert 記号の計算と x² + y² + z² = 0 の局所可解性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）