数学 › 代数的整数論・類体論 › 円分体と Kronecker–Weber の定理

完全分解する素数

系 4.4（「円分体と Kronecker–Weber の定理」§4） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 224 件、定義なども含めて 245 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Frobenius 元の性質✓命題 5.2・分解群・惰性群・Frobenius 元

  • 有限体の拡大の自己同型群✓補題 3.3・分解群・惰性群・Frobenius 元

    • フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
    • 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大

      • 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類 この先をたどる →
    • 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大

      • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
      • PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
      • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環 この先をたどる →
  • Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元

    • 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域

      • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
    • ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待 この先をたどる →
    • 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元 この先をたどる →
  • 分岐指数と剰余次数は塔で乗法的✓補題 2.2・分解群・惰性群・Frobenius 元

    • 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
    • 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元 この先をたどる →
    • イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域

      • 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
  • 中間体での完全分解・不分岐の判定✓系 4.2・分解群・惰性群・Frobenius 元

    • 分解群の完全列✓定理 3.4・分解群・惰性群・Frobenius 元 この先をたどる →
    • 分岐指数と剰余次数は塔で乗法的✓補題 2.2・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
    • ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待 この先をたどる →
    • 横たわり定理✓定理 4.4・整拡大 この先をたどる →
    • Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
• 円分体での素数の分解✓定理 4.3・円分体と Kronecker–Weber の定理

  • 円分体の整数環✓定理 4.2・円分体と Kronecker–Weber の定理

    • 円分多項式は整数係数✓補題 2.2・円分体と Kronecker–Weber の定理
    • Dedekind の巡回型定理✓定理 5.3・分解群・惰性群・Frobenius 元 この先をたどる →
    • 判別式を割る素数は分岐する✓定理 6.3・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
    • 素数冪の円分体✓定理 3.3・円分体と Kronecker–Weber の定理（上で展開済み）
    • オイラー関数の乗法性と公式✓定理 7.3・整除と素因数分解

      • 剰余の分解✓系 6.5・整除と素因数分解 この先をたどる →
      • 積と互いに素✓補題 7.2・整除と素因数分解 この先をたどる →
      • 素因数分解の指数による表示✓定理 5.2・整除と素因数分解 この先をたどる →
    • 判別式が互いに素な体の合成✓補題 4.1・円分体と Kronecker–Weber の定理 この先をたどる →
  • 円分多項式は整数係数✓補題 2.2・円分体と Kronecker–Weber の定理
  • Frobenius 元の性質✓命題 5.2・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
  • 素数冪の円分体✓定理 3.3・円分体と Kronecker–Weber の定理

    • 基本等式✓定理 5.4・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
    • 円分多項式の既約性✓定理 2.3・円分体と Kronecker–Weber の定理 この先をたどる →
    • 円分多項式は整数係数✓補題 2.2・円分体と Kronecker–Weber の定理
    • Dedekind の巡回型定理✓定理 5.3・分解群・惰性群・Frobenius 元 この先をたどる →
    • 局所的に等しければ等しい✓補題 3.2・円分体と Kronecker–Weber の定理
    • 完全分岐なら素元で生成される✓補題 9.2・分解群・惰性群・Frobenius 元 この先をたどる →
    • 微分が単元なら単生成✓補題 3.1・円分体と Kronecker–Weber の定理 この先をたどる →
    • 判別式は共役差積のノルム✓命題 8.5・分解群・惰性群・Frobenius 元 この先をたどる →
    • Euler の補題と単生成の場合の共役差積✓命題 8.6・分解群・惰性群・Frobenius 元 この先をたどる →
  • 分岐指数と剰余次数は塔で乗法的✓補題 2.2・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
  • 中間体での完全分解・不分岐の判定✓系 4.2・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

関連するノック 4 問

• 代数的整数論・類体論 第 11 問
• 代数的整数論・類体論 第 12 問
• 代数的整数論・類体論 第 14 問
• 代数的整数論・類体論 第 46 問