数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › 曲線と Riemann–Roch の定理

曲線と 1 変数関数体の圏同値

定理 4.2（「曲線と Riemann–Roch の定理」§4） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 444 件、定義なども含めて 509 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 14 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 有理写像と関数体✓定理 8.2・スキームの性質と射

  • 整 ⇔ 被約かつ既約✓命題 2.2・スキームの性質と射（上で展開済み）
  • Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキーム この先をたどる →
  • 射の有限性はアフィン開被覆の取り方によらない✓命題 3.3・スキームの性質と射 この先をたどる →
• 稠密な開集合で一致する射は等しい✓命題 8.2・分離射・固有射と付値判定法

  • 射の性質の保存✓命題 6.1・スキームの性質と射 この先をたどる →
  • 対角射の底変換✓補題 6.1・分離射・固有射と付値判定法
  • はめ込みは単射的な射✓補題 2.4・分離射・固有射と付値判定法 この先をたどる →
  • 整 ⇔ 被約かつ既約✓命題 2.2・スキームの性質と射（上で展開済み）
• 非特異曲線の局所環と有理写像の延長✓命題 10.1・次元・正規性・非特異性と微分の層

  • 多様体の次元✓定理 2.4・次元・正規性・非特異性と微分の層 この先をたどる →
  • DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環 この先をたどる →
  • 稠密な開集合で一致する射は等しい✓命題 8.2・分離射・固有射と付値判定法（上で展開済み）
  • 既約成分への分解✓命題 3.4・アフィン代数多様体と座標環 この先をたどる →
  • 固有性の付値判定法✓定理 5.4・分離射・固有射と付値判定法 この先をたどる →
  • 対角射の底変換✓補題 6.1・分離射・固有射と付値判定法
  • はめ込みは単射的な射✓補題 2.4・分離射・固有射と付値判定法 この先をたどる →
  • 射とスキームの貼り合わせ✓定理 5.1・アフィンスキームとスキーム（上で展開済み）
• 体上有限生成整域の正規化の有限性✓定理 6.7・Noether の正規化と Hilbert の零点定理

  • Noether の正規化定理✓定理 3.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理 この先をたどる →
  • 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大 この先をたどる →
  • 代数性の推移と添加✓補題 2.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理 この先をたどる →
  • 分離部分と純非分離部分への分解✓補題 6.5・Noether の正規化と Hilbert の零点定理 この先をたどる →
  • 純非分離拡大での整閉包の有限性✓補題 6.6・Noether の正規化と Hilbert の零点定理 この先をたどる →
  • Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
  • 分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大（上で展開済み）
  • 分離拡大での整閉包の有限性✓命題 6.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理 この先をたどる →
• 分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大

  • 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
• 整閉包と局所化の可換性✓命題 2.6・整拡大

  • 整性は剰余と局所化で保たれる✓命題 2.5・整拡大 この先をたどる →
• 射とスキームの貼り合わせ✓定理 5.1・アフィンスキームとスキーム

  • 層の貼り合わせ✓定理 8.1・層 この先をたどる →
• Proj はスキーム✓定理 6.3・アフィンスキームとスキーム

  • 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • 斉次部分加群の判定と剰余✓補題 2.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
  • 斉次イデアルの素性の判定✓補題 6.2・アフィンスキームとスキーム この先をたどる →
  • 構造層の存在✓定理 2.3・アフィンスキームとスキーム この先をたどる →
• 整 ⇔ 被約かつ既約✓命題 2.2・スキームの性質と射

  • 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
  • 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • アフィン開集合は開基をなす✓命題 4.1・アフィンスキームとスキーム この先をたどる →
  • 既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
  • 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム この先をたどる →
  • 既約閉集合の生成点✓命題 4.3・アフィンスキームとスキーム この先をたどる →
• 射影直線の上に有限な完備曲線は射影的✓補題 4.1・曲線と Riemann–Roch の定理 この先をたどる →
• 曲線の射は有限✓定理 3.1・曲線と Riemann–Roch の定理 この先をたどる →
• DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環 この先をたどる →
• 非特異性と Ω の局所自由性✓定理 7.3・次元・正規性・非特異性と微分の層 この先をたどる →
• 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

• 射影直線の不分岐被覆は自明✓系 3.6・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
• Lüroth の定理✓系 4.5・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
• $g^1_2$ の一意性✓補題 8.1・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
• 種数 0 の曲線✓定理 7.2・曲線と Riemann–Roch の定理

関連するノック 1 問

• 代数幾何 II 第 35 問