有理写像と関数体

定理 8.2（「スキームの性質と射」§8）・ ✓公理まで証明済み

$k$ を体、 $X, Y$ を $k$ 上の整な有限型スキームとする。

支配的な有理写像 $\phi = (U, f)\colon X \dashrightarrow Y$ に $k$ 代数の準同型 $\phi^* = f^\#_{\eta_X}\colon K(Y) \to K(X)$ を対応させる写像は、 $k$ 上の支配的な有理写像 $X \dashrightarrow Y$ の全体から、 $k$ 代数の準同型 $K(Y) \to K(X)$ の全体への全単射である。合成について $(\psi \circ \phi)^* = \phi^* \circ \psi^*$ が成り立つ。
次の 3 条件は同値である: (a) $X$ と $Y$ は $k$ 上双有理同値、(b) $K(X)$ と $K(Y)$ は $k$ 代数として同型、(c) 空でない開部分スキーム $U \subseteq X$ 、 $V \subseteq Y$ と $k$ 上の同型 $U \cong V$ が存在する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 48 件、定義なども含めて 60 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

整 ⇔ 被約かつ既約✓命題 2.2・スキームの性質と射
- 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
- アフィン開集合は開基をなす✓命題 4.1・アフィンスキームとスキーム
  - 剰余環と局所化のスペクトル✓命題 4.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 主開集合の包含と局所化✓補題 2.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層（上で展開済み）
  - 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム（上で展開済み）
- 既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
- 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム
  - 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 既約閉集合の生成点✓命題 4.3・アフィンスキームとスキーム
  - 既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
  - Spec の位相の基本性質✓定理 4.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキーム
- 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム（上で展開済み）
- 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
- 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層
    茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 随伴定義 2.1・随伴関手と随伴関手定理
- 構造層の存在✓定理 2.3・アフィンスキームとスキーム
  - Spec の位相の基本性質✓定理 4.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 主開集合の包含と局所化✓補題 2.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層（上で展開済み）
  - 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層（上で展開済み）
- 忠実・充満・本質的全射定義 4.5・圏・関手・自然変換
- 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換
  - 圏同値・骨格定義 6.1・圏・関手・自然変換
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 充満忠実な関手は同型を反映する✓補題 4.6・圏・関手・自然変換
  - 自然同型は成分ごとの同型✓命題 5.2・圏・関手・自然変換
射の有限性はアフィン開被覆の取り方によらない✓命題 3.3・スキームの性質と射
- アフィン交流補題✓補題 4.2・アフィンスキームとスキーム
  - アフィン開集合は開基をなす✓命題 4.1・アフィンスキームとスキーム（上で展開済み）
  - V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム（上で展開済み）
- 大域切断の局所化とアフィン性の判定✓補題 3.2・スキームの性質と射この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

曲線と 1 変数関数体の圏同値✓定理 4.2・曲線と Riemann–Roch の定理

有理写像と関数体

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件