主開集合の包含と局所化

$A$ を環、$f, g \in A$ とする。

1. $D(f) \subseteq D(g)$、$f \in \sqrt{(g)}$、「$g/1$ は $A_f$ の単元」の 3 条件は同値である。より一般に、$D(f) \subseteq \bigcup_i D(g_i)$ と $f \in \sqrt{(g_i)_i}$ は同値である。
2. $D(f) \subseteq D(g)$ のとき、$A$ 代数の準同型 $\rho^g_f\colon A_g \to A_f$ がただ一つ存在する。$D(f) \subseteq D(g) \subseteq D(h)$ なら $\rho^g_f \circ \rho^h_g = \rho^h_f$、$\rho^f_f = \mathrm{id}$ であり、$D(f) = D(g)$ なら $\rho^g_f$ は同型である。
3. $D(g) \subseteq D(f)$ のとき、$A_g$ は $(A_f)_{g/1}$ と $A$ 代数として同型である。
4. 素イデアル $\mathfrak{p}$ について、$f \notin \mathfrak{p}$ となる $f$ の全体は積 $ff'$ を上界として有向で、自然な写像 $A_f \to A_{\mathfrak{p}}$ は同型 $\varinjlim_{f \notin \mathfrak{p}} A_f \cong A_{\mathfrak{p}}$ を与える。