数学 › 代数幾何 I（多様体とスキーム） › アフィン代数多様体と座標環

既約な集合の基本性質

補題 3.2（「アフィン代数多様体と座標環」§3）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を位相空間とする。

部分集合 $Y \subseteq X$ が既約であることと、閉包 $\overline{Y}$ が既約であることは同値である。とくに既約成分は閉集合である。
$X$ が既約で $U \subseteq X$ が空でない開集合なら、 $U$ は $X$ で稠密で、 $U$ は既約である。空でない二つの開集合は交わる。
$f\colon X \to X'$ が連続で $X$ が既約なら、像 $f(X)$ は既約である。
既約な部分集合 $W$ が有限個の閉集合の和 $Z_1 \cup \cdots \cup Z_r$ に含まれれば、ある $i$ で $W \subseteq Z_i$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理証明で参照している 7 件

既約閉集合の生成点✓命題 4.3・アフィンスキームとスキーム
既約成分への分解✓命題 3.4・アフィン代数多様体と座標環
既約成分と極小素イデアル✓系 3.5・アフィン代数多様体と座標環
正則関数の基本性質✓補題 4.4・アフィン代数多様体と座標環
アフィン多様体の正則関数✓定理 4.6・アフィン代数多様体と座標環
主開集合はアフィン多様体と同型✓補題 5.2・アフィン代数多様体と座標環
整 ⇔ 被約かつ既約✓命題 2.2・スキームの性質と射

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