主開集合はアフィン多様体と同型

補題 5.2（「アフィン代数多様体と座標環」§5）・ ✓公理まで証明済み

$X \subseteq \mathbb{A}^n$ をアフィン多様体、 $f \in k[X]$ 、 $f \ne 0$ とし、 $F \in k[x_1, \ldots, x_n]$ を $f$ の代表元とする。

X_f = \mathbf{V}\bigl(\mathbf{I}(X) \cup \{ tF - 1 \}\bigr) \subseteq \mathbb{A}^{n+1}

（座標は $x_1, \ldots, x_n, t$ ）はアフィン多様体で、射影 $\pi\colon X_f \to D(f)$ 、 $(a, t) \mapsto a$ は多様体の同型である。 $\pi^*$ は $k$ 代数の同型 $k[X]_f = \mathcal{O}(D(f)) \to k[X_f]$ を与える。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 56 件、定義なども含めて 65 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

正則関数の基本性質✓補題 4.4・アフィン代数多様体と座標環
- 既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
射は座標関数で判定できる✓補題 4.5・アフィン代数多様体と座標環
- 正則関数の基本性質✓補題 4.4・アフィン代数多様体と座標環（上で展開済み）
既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
アフィン多様体の正則関数✓定理 4.6・アフィン代数多様体と座標環
- 商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
    環準同型定義 7.1・環と体の基礎
- 既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
- アフィン多様体の中での対応✓命題 4.2・アフィン代数多様体と座標環
  - イデアルと代数的集合の対応✓定理 2.3・アフィン代数多様体と座標環
    Hilbert の零点定理✓定理 4.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
    代数閉体上の多項式環の極大イデアル✓系 4.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
    既約な空間定義 4.3・局所化と素イデアルのスペクトル
    V と I の性質✓補題 2.2・アフィン代数多様体と座標環
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 既約成分と極小素イデアル✓系 3.5・アフィン代数多様体と座標環
    イデアルと代数的集合の対応✓定理 2.3・アフィン代数多様体と座標環（上で展開済み）
    既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
    アフィン空間は Noether 位相空間✓補題 3.3・アフィン代数多様体と座標環この先をたどる →
    既約成分への分解✓命題 3.4・アフィン代数多様体と座標環この先をたどる →
    V と I の性質✓補題 2.2・アフィン代数多様体と座標環
- 正則関数の基本性質✓補題 4.4・アフィン代数多様体と座標環（上で展開済み）
- 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル
    極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトル
    局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
    局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）

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支配的な射と関数体✓命題 8.2・アフィン代数多様体と座標環

主開集合はアフィン多様体と同型

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