支配的な射と関数体

命題 8.2（「アフィン代数多様体と座標環」§8）・ ✓公理まで証明済み

$X, Y$ をアフィン多様体とする。

射 $\phi\colon X \to Y$ について、 $\overline{\phi(X)} = \mathbf{V}_Y(\ker \phi^*)$ である。したがって $\phi$ が支配的であることと $\phi^*\colon k[Y] \to k[X]$ が単射であることは同値で、このとき $\phi^*$ は体の $k$ 準同型 $k(Y) \to k(X)$ にただ一通りに延長される。
$X$ と $Y$ が双有理同値であることと、 $k(X)$ と $k(Y)$ が $k$ 代数として同型であることは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 63 件、定義なども含めて 73 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

アフィン多様体の中での対応✓命題 4.2・アフィン代数多様体と座標環
- イデアルと代数的集合の対応✓定理 2.3・アフィン代数多様体と座標環
  - Hilbert の零点定理✓定理 4.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
  - 代数閉体上の多項式環の極大イデアル✓系 4.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
  - 既約な空間定義 4.3・局所化と素イデアルのスペクトル
  - V と I の性質✓補題 2.2・アフィン代数多様体と座標環
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 既約成分と極小素イデアル✓系 3.5・アフィン代数多様体と座標環
  - イデアルと代数的集合の対応✓定理 2.3・アフィン代数多様体と座標環（上で展開済み）
  - 既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
  - アフィン空間は Noether 位相空間✓補題 3.3・アフィン代数多様体と座標環この先をたどる →
  - 既約成分への分解✓命題 3.4・アフィン代数多様体と座標環
    既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
  - V と I の性質✓補題 2.2・アフィン代数多様体と座標環
アフィン多様体の正則関数✓定理 4.6・アフィン代数多様体と座標環
- 商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
- アフィン多様体の中での対応✓命題 4.2・アフィン代数多様体と座標環（上で展開済み）
- 正則関数の基本性質✓補題 4.4・アフィン代数多様体と座標環
  - 既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
- 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
主開集合はアフィン多様体と同型✓補題 5.2・アフィン代数多様体と座標環
- 正則関数の基本性質✓補題 4.4・アフィン代数多様体と座標環（上で展開済み）
- 射は座標関数で判定できる✓補題 4.5・アフィン代数多様体と座標環
  - 正則関数の基本性質✓補題 4.4・アフィン代数多様体と座標環（上で展開済み）
- 既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
- アフィン多様体の正則関数✓定理 4.6・アフィン代数多様体と座標環（上で展開済み）
射と座標環の準同型・反変同値✓定理 5.1・アフィン代数多様体と座標環
- 射は座標関数で判定できる✓補題 4.5・アフィン代数多様体と座標環（上で展開済み）
- アフィン多様体の正則関数✓定理 4.6・アフィン代数多様体と座標環（上で展開済み）
- 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- イデアルと代数的集合の対応✓定理 2.3・アフィン代数多様体と座標環（上で展開済み）
- 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換
  - 圏同値・骨格定義 6.1・圏・関手・自然変換
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 充満忠実な関手は同型を反映する✓補題 4.6・圏・関手・自然変換
  - 自然同型は成分ごとの同型✓命題 5.2・圏・関手・自然変換

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

支配的な射と関数体

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）