射と座標環の準同型・反変同値

定理 5.1（「アフィン代数多様体と座標環」§5）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を多様体、 $Y$ をアフィン多様体とする。 $\phi \mapsto \phi^*$ は、射 $X \to Y$ の全体から $k$ 代数の準同型 $k[Y] \to \mathcal{O}(X)$ の全体への全単射である。
アフィン多様体 $X$ に $k[X]$ を、射 $\phi$ に $\phi^*$ を対応させる反変関手は、アフィン多様体と射の圏から、有限生成な $k$ 代数である整域と $k$ 代数の準同型の圏への反変同値である（定義 6.1［圏・関手・自然変換］）。とくにアフィン多様体 $X, Y$ について、 $\phi\colon X \to Y$ が同型であることと $\phi^*\colon k[Y] \to k[X]$ が同型であることは同値である。

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閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 61 件、定義なども含めて 71 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

射は座標関数で判定できる✓補題 4.5・アフィン代数多様体と座標環
- 正則関数の基本性質✓補題 4.4・アフィン代数多様体と座標環
  - 既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
アフィン多様体の正則関数✓定理 4.6・アフィン代数多様体と座標環
- 商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
    環準同型定義 7.1・環と体の基礎
- 既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
- アフィン多様体の中での対応✓命題 4.2・アフィン代数多様体と座標環
  - イデアルと代数的集合の対応✓定理 2.3・アフィン代数多様体と座標環（上で展開済み）
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 既約成分と極小素イデアル✓系 3.5・アフィン代数多様体と座標環
    イデアルと代数的集合の対応✓定理 2.3・アフィン代数多様体と座標環（上で展開済み）
    既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
    アフィン空間は Noether 位相空間✓補題 3.3・アフィン代数多様体と座標環この先をたどる →
    既約成分への分解✓命題 3.4・アフィン代数多様体と座標環この先をたどる →
    V と I の性質✓補題 2.2・アフィン代数多様体と座標環
- 正則関数の基本性質✓補題 4.4・アフィン代数多様体と座標環（上で展開済み）
- 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル
- 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
イデアルと代数的集合の対応✓定理 2.3・アフィン代数多様体と座標環
- Hilbert の零点定理✓定理 4.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 代数閉体上の多項式環の極大イデアル✓系 4.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理（上で展開済み）
- 代数閉体上の多項式環の極大イデアル✓系 4.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - Zariski の補題（弱零点定理）✓定理 4.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
  - 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- 既約な空間定義 4.3・局所化と素イデアルのスペクトル
- V と I の性質✓補題 2.2・アフィン代数多様体と座標環
圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換
- 圏同値・骨格定義 6.1・圏・関手・自然変換
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- 充満忠実な関手は同型を反映する✓補題 4.6・圏・関手・自然変換
- 自然同型は成分ごとの同型✓命題 5.2・圏・関手・自然変換

これを使っている定理証明で参照している 2 件

アフィン多様体はスキームに埋め込まれる✓定理 7.1・アフィンスキームとスキーム
支配的な射と関数体✓命題 8.2・アフィン代数多様体と座標環

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