アフィン多様体の中での対応

命題 4.2（「アフィン代数多様体と座標環」§4）・ ✓公理まで証明済み

$X \subseteq \mathbb{A}^n$ をアフィン多様体とする。

$Z \mapsto \mathbf{I}_X(Z)$ と $\mathfrak{a} \mapsto \mathbf{V}_X(\mathfrak{a})$ は、 $X$ の閉集合の全体と $k[X]$ の根基イデアルの全体の間の、包含を逆にする互いに逆な全単射であり、 $k[X]$ の任意のイデアル $\mathfrak{a}$ について $\mathbf{I}_X(\mathbf{V}_X(\mathfrak{a})) = \sqrt{\mathfrak{a}}$ である。
この対応で既約な閉集合は素イデアルに、点 $p$ は極大イデアル $\mathfrak{m}_p = \{ f \in k[X] : f(p) = 0 \}$ に対応する。 $k[X]$ の極大イデアルはこの形に限り、 $k[X]/\mathfrak{m}_p \cong k$ である。既約な閉集合 $Z = \mathbf{V}_X(\mathfrak{p})$ はアフィン多様体で、 $k[Z] \cong k[X]/\mathfrak{p}$ である。
主開集合の全体は $X$ の開基（定義 5.1［位相空間の定義と基本概念］）であり、 $D(f) \cap D(g) = D(fg)$ 、 $D(f) = \varnothing \iff f = 0$ である。 $D(f) \subseteq \bigcup_i D(h_i)$ であることと、 $f \in \sqrt{(h_i)_i}$ であることは同値である。
$g \in k[X]$ が $X$ の空でない開集合の上で $0$ なら、 $g = 0$ である。
$\mathfrak{a} \ne k[X]$ をイデアルとすると、 $\mathbf{V}_X(\mathfrak{a})$ の既約成分は $\mathfrak{a}$ の極小素イデアル $\mathfrak{p}$ についての $\mathbf{V}_X(\mathfrak{p})$ の全体である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 44 件、定義なども含めて 52 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

イデアルと代数的集合の対応✓定理 2.3・アフィン代数多様体と座標環
- Hilbert の零点定理✓定理 4.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 代数閉体上の多項式環の極大イデアル✓系 4.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理（上で展開済み）
- 代数閉体上の多項式環の極大イデアル✓系 4.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - Zariski の補題（弱零点定理）✓定理 4.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
    Noether の正規化定理✓定理 3.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
    整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
    多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
  - 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大
    代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
    次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 既約な空間定義 4.3・局所化と素イデアルのスペクトル
- V と I の性質✓補題 2.2・アフィン代数多様体と座標環
剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
既約成分と極小素イデアル✓系 3.5・アフィン代数多様体と座標環
- イデアルと代数的集合の対応✓定理 2.3・アフィン代数多様体と座標環（上で展開済み）
- 既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
- アフィン空間は Noether 位相空間✓補題 3.3・アフィン代数多様体と座標環
  - V と I の性質✓補題 2.2・アフィン代数多様体と座標環
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
    鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
    ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
    ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 既約成分への分解✓命題 3.4・アフィン代数多様体と座標環
  - 既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
- V と I の性質✓補題 2.2・アフィン代数多様体と座標環

これを使っている定理証明で参照している 4 件

アフィン多様体はスキームに埋め込まれる✓定理 7.1・アフィンスキームとスキーム
アフィン多様体の正則関数✓定理 4.6・アフィン代数多様体と座標環
アフィン多様体の次元✓定理 7.2・アフィン代数多様体と座標環
支配的な射と関数体✓命題 8.2・アフィン代数多様体と座標環

アフィン多様体の中での対応

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件