数学 › 代数幾何 I（多様体とスキーム） › アフィン代数多様体と座標環

アフィン多様体の正則関数

定理 4.6（「アフィン代数多様体と座標環」§4） ・ ✓公理まで証明済み

XX をアフィン多様体とする。

  1. 空でない開集合 U⊆XU \subseteq X と φ∈O(U)\varphi \in \mathcal{O}(U) に対し、k(X)k(X) の元 r(φ)r(\varphi) で次を満たすものがただ一つある: g,h∈k[X]g, h \in k[X]（h≠0h \ne 0）と、U∩D(h)U \cap D(h) に含まれる空でない開集合 WW があって WW の上で φ=g/h\varphi = g/h ならば、r(φ)=g/hr(\varphi) = g/h。写像 r ⁣:O(U)→k(X)r\colon \mathcal{O}(U) \to k(X) は単射な kk 代数の準同型で、制限と両立する。以下 rr により O(U)⊆k(X)\mathcal{O}(U) \subseteq k(X) とみなす。
  2. f∈k[X]f \in k[X]、f≠0f \ne 0 について、k(X)k(X) の部分環として O(D(f))=k[X]f\mathcal{O}(D(f)) = k[X]_f である。とくに O(X)=k[X]\mathcal{O}(X) = k[X]。
  3. 点 p∈Xp \in X について、k(X)k(X) の部分環として OX,p=k[X]mp\mathcal{O}_{X,p} = k[X]_{\mathfrak{m}_p} であり、これは剰余体が kk の局所環である。また空でない開集合 UU について O(U)=⋂p∈UOX,p\mathcal{O}(U) = \bigcap_{p \in U} \mathcal{O}_{X,p} である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 54 件、定義なども含めて 63 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

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