大域切断の局所化とアフィン性の判定

補題 3.2（「スキームの性質と射」§3）・ ✓公理まで証明済み

$X$ をスキーム、 $A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ 、 $g \in A$ とする。

$X$ が有限個のアフィン開集合 $U_1, \ldots, U_n$ で覆え、各 $U_i \cap U_j$ が準コンパクトであるとする。このとき制限の誘導する準同型 $A_g \to \Gamma(X_g, \mathcal{O}_X)$ は同型である（ $X_g$ は補題 3.2［アフィンスキームとスキーム］の開集合）。
$g_1, \ldots, g_n \in A$ が単位イデアルを生成し、各 $X_{g_i}$ がアフィンスキームなら、 $X$ はアフィンスキームである。
$R$ を環、 $C$ を $R$ 代数とし、 $g_1, \ldots, g_n \in C$ が $C$ の単位イデアルを生成するとする。(a) すべての $C_{g_i}$ が有限生成 $R$ 代数なら、 $C$ は有限生成 $R$ 代数である。(b) $g_i$ が $R$ の単位イデアルを生成する元 $r_i$ の像で、すべての $C_{g_i}$ が有限生成 $R_{r_i}$ 加群なら、 $C$ は有限生成 $R$ 加群である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 37 件、定義なども含めて 49 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム
- 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキーム
- 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム（上で展開済み）
- 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
- 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層
    茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 随伴定義 2.1・随伴関手と随伴関手定理
- 構造層の存在✓定理 2.3・アフィンスキームとスキーム
  - Spec の位相の基本性質✓定理 4.4・局所化と素イデアルのスペクトル
    位相の基底定義 5.1・位相空間の定義と基本概念
    冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    コンパクト空間定義 3.2・コンパクト性
    極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題（上で展開済み）
    極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環この先をたどる →
    T0・T1・T2定義 3.1・分離公理と距離づけ可能性
    根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    根基はイデアル✓補題 2.3・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 主開集合の包含と局所化✓補題 2.1・アフィンスキームとスキーム
    V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層（上で展開済み）
  - 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトル
    局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
    局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
    局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
    局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層（上で展開済み）
- 忠実・充満・本質的全射定義 4.5・圏・関手・自然変換
- 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換
  - 圏同値・骨格定義 6.1・圏・関手・自然変換
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 充満忠実な関手は同型を反映する✓補題 4.6・圏・関手・自然変換
  - 自然同型は成分ごとの同型✓命題 5.2・圏・関手・自然変換

これを使っている定理証明で参照している 4 件

射の有限性はアフィン開被覆の取り方によらない✓命題 3.3・スキームの性質と射
アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 4.2・スキームの性質と射
大域切断の局所化✓補題 2.1・分離射・固有射と付値判定法
アフィン性の判定✓補題 2.2・分離射・固有射と付値判定法

大域切断の局所化とアフィン性の判定

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件