数学 › 代数幾何 I（多様体とスキーム） › 次元・正規性・非特異性と微分の層

非特異性と Ω の局所自由性

定理 7.3（「次元・正規性・非特異性と微分の層」§7） ・ ✓公理まで証明済み

kk を代数閉体、XX を kk 上の多様体、n=dim⁡Xn = \dim X とする。

  1. 閉点 xx について、a↦daa \mapsto da は同型 mx/mx2≅Ωx⊗κ(x)\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2 \cong \Omega_x \otimes \kappa(x) を与える。したがって Zariski 接空間の次元 dim⁡kTxX\dim_k T_xX は φ(x)\varphi(x) に等しく、Ωx\Omega_x の極小生成系の元の個数に等しい。φ(x)≥n\varphi(x) \ge n で、等号は XX が xx で正則なときに限る。
  2. 各整数 rr について {x∈X:φ(x)≤r}\{ x \in X : \varphi(x) \le r \} は開集合である。すべての点 yy で φ(y)≥n\varphi(y) \ge n で、生成点 η\eta では φ(η)=dim⁡K(X)ΩK(X)/k=n\varphi(\eta) = \dim_{K(X)}\Omega_{K(X)/k} = n である。
  3. XX が非特異であることと、ΩX/k\Omega_{X/k} が階数 nn の局所自由層であることは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 339 件、定義なども含めて 394 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 12 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 6 件