準連接層・連接層の核・余核・拡大

命題 4.6（「準連接層・連接層と直線束」§4）・ ✓公理まで証明済み

$X$ をスキームとする。

準連接層の間の射の核・余核・像は準連接である。準連接層の直和、二つの準連接層のテンソル積は準連接である。
$X$ がアフィンで、 $0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0$ が $\mathcal{O}_X$ 加群の完全列、 $\mathcal{F}'$ が準連接ならば、 $0 \to \Gamma(X, \mathcal{F}') \to \Gamma(X, \mathcal{F}) \to \Gamma(X, \mathcal{F}'') \to 0$ は完全である。
$0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0$ が $\mathcal{O}_X$ 加群の完全列で、 $\mathcal{F}'$ と $\mathcal{F}''$ が準連接ならば、 $\mathcal{F}$ は準連接である。
$X$ が局所 Noether のとき、1 と 3 は「準連接」を「連接」に（直和は有限直和に）置き換えても成り立つ。また $\mathcal{F}$ が連接、 $\mathcal{G}$ が準連接（連接）なら $\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})$ は準連接（連接）である。

とくに $\mathsf{QCoh}(X)$ はアーベル圏で、 $X$ が局所 Noether なら $\mathsf{Coh}(X)$ もアーベル圏である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 94 件、定義なども含めて 117 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束
- M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層（上で展開済み）
- 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- アフィン交流補題✓補題 4.2・アフィンスキームとスキーム
  - アフィン開集合は開基をなす✓命題 4.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束
- テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理
  - テンソル積は双線形写像の関手を表現する✓命題 6.1・米田の補題と表現可能関手この先をたどる →
  - Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 係数の拡大と制限定義 2.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 普遍射の族から随伴✓定理 2.7・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
- 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層この先をたどる →
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束
  - 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層この先をたどる →
  - テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 有限表示加群の Hom と局所化✓命題 5.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換この先をたどる →
大域切断と順像は左完全✓命題 6.2・層
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層この先をたどる →
アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束
- 大域切断の局所化✓補題 2.1・分離射・固有射と付値判定法
  - 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 大域切断の局所化とアフィン性の判定✓補題 3.2・スキームの性質と射この先をたどる →
- M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
五項補題✓系 7.2・加法圏とアーベル圏
- 元による図式追跡の規則✓定理 6.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環

これを使っている定理証明で参照している 8 件

引き戻しと順像✓命題 6.2・準連接層・連接層と直線束
連接層の台と中山の補題✓補題 7.2・準連接層・連接層と直線束
局所自由性の判定✓定理 7.3・準連接層・連接層と直線束
Serre の有限性定理と消滅定理✓定理 6.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
Euler 標数の加法性✓命題 7.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
局所自由層の Riemann–Roch✓命題 8.2・曲線と Riemann–Roch の定理
Serre のアフィン判定法✓定理 7.8・層コホモロジー
高次順像の記述✓命題 8.2・層コホモロジー

準連接層・連接層の核・余核・拡大

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 8 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

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