高次順像の記述

命題 8.2（「層コホモロジー」§8）・ ✓公理まで証明済み

$f\colon X \to Y$ を連続写像、 $\mathcal F \in \mathsf{Ab}(X)$ とする。

$R^if_*\mathcal F$ は、 $Y$ 上の前層 $V \mapsto H^i(f^{-1}(V), \mathcal F)$ の層化である。
$\mathcal F$ が脆弱なら、 $i > 0$ で $R^if_*\mathcal F = 0$ である。
$X$ が Noether スキーム、 $Y = \operatorname{Spec} A$ がアフィンスキーム、 $f$ が分離的な射、 $\mathcal F$ が準連接層なら、 $R^if_*\mathcal F \cong \widetilde{H^i(X, \mathcal F)}$ である。ここで $H^i(X, \mathcal F)$ は $\Gamma(X, \mathcal O_X)$ 加群（系 4.5）を $A \to \Gamma(X, \mathcal O_X)$ で $A$ 加群と見たものである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 152 件、定義なども含めて 184 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 11 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

関手圏はアーベル圏✓命題 5.7・加法圏とアーベル圏
- 関手圏は圏であり、大きさが保たれる✓命題 5.4・圏・関手・自然変換この先をたどる →
- 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層
- 芽の族の層✓補題 4.2・層
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 普遍射の族から随伴✓定理 2.7・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
- 加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限この先をたどる →
完全関手との合成✓補題 2.1・Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー
- 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- コサイクル・コホモロジー・非輪状定義 2.3・鎖複体とホモトピー圏
- 導来関手は δ 関手をなす✓定理 5.2・導来関手と δ 関手この先をたどる →
- 連結射の鎖の水準の記述✓補題 3.2・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
開集合への制限と閉集合からの順像✓補題 4.6・層コホモロジー
- 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層この先をたどる →
- 脆弱層の基本性質✓補題 4.2・層コホモロジー
- 脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジー（上で展開済み）
- 入射的な加群の層は脆弱✓命題 4.3・層コホモロジーこの先をたどる →
脆弱層の基本性質✓補題 4.2・層コホモロジー
脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジー
- 入射的な加群の層は脆弱✓命題 4.3・層コホモロジーこの先をたどる →
- 脆弱層の基本性質✓補題 4.2・層コホモロジー
- 非輪状分解による計算✓定理 5.6・導来関手と δ 関手この先をたどる →
準連接層・連接層の核・余核・拡大✓命題 4.6・準連接層・連接層と直線束
- 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 大域切断と順像は左完全✓命題 6.2・層この先をたどる →
- アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 五項補題✓系 7.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
引き戻しと順像✓命題 6.2・準連接層・連接層と直線束
- テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
- 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層この先をたどる →
- 右随伴は極限を保つ✓定理 3.1・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
- テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 表現対象の一意性✓系 4.3・米田の補題と表現可能関手
- 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 分離スキームのアフィン開集合の交わり✓命題 3.4・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 準連接層・連接層の核・余核・拡大✓命題 4.6・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
準連接層は脆弱な準連接層に埋め込める✓補題 7.5・層コホモロジー
- 入射加群に伴う層は脆弱✓補題 7.3・層コホモロジーこの先をたどる →
- 脆弱層の基本性質✓補題 4.2・層コホモロジー
- 引き戻しと順像✓命題 6.2・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
Grothendieck の普遍性定理✓定理 4.4・導来関手と δ 関手
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- δ 関手定義 4.1・導来関手と δ 関手
導来関手の普遍性✓系 5.3・導来関手と δ 関手この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

アフィン射ではコホモロジーが順像で計算できる✓系 8.4・層コホモロジー

高次順像の記述

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 11 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 11 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件