コサイクル・コホモロジー・非輪状

複体 $X$ と $n \in \mathbb{Z}$ について、$\iota^n\colon Z^n(X) \to X^n$ を $d_X^n$ の核とする。$d_X^n d_X^{n-1} = 0$ なので $\iota^n \bar d^{n-1} = d_X^{n-1}$ となる $\bar d^{n-1}\colon X^{n-1} \to Z^n(X)$ がただ一つある。その余核を

とし、$H^n(X)$ を $X$ の $n$ 次コホモロジーという（鎖複体の添字では $H_n(X) = H^{-n}(X)$ と書き、ホモロジーという）。すべての $n$ で $H^n(X) = 0$ のとき、$X$ は非輪状（または完全）であるという。

鎖写像 $f\colon X \to Y$ について、$d_Y f^n \iota^n = f^{n+1} d_X \iota^n = 0$ から $\iota^n Z^n(f) = f^n \iota^n$ となる $Z^n(f)\colon Z^n(X) \to Z^n(Y)$ がただ一つ定まり、$q_Y Z^n(f) \bar d_X^{n-1} = q_Y \bar d_Y^{n-1} f^{n-1} = 0$ から $H^n(f) q_X = q_Y Z^n(f)$ となる $H^n(f)\colon H^n(X) \to H^n(Y)$ がただ一つ定まる。