引き戻しと順像

命題 6.2（「準連接層・連接層と直線束」§6）・ ✓公理まで証明済み

環付き空間の射 $f\colon X \to Y$ について $f^{*} \dashv f_{*}$ 、すなわち自然な全単射 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(f^{*}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_Y}(\mathcal{G}, f_{*}\mathcal{F})$ がある。 $f^{*}$ は右完全で直和と交換し、 $f^{*}\mathcal{O}_Y \cong \mathcal{O}_X$ 、 $(f^{*}\mathcal{G})_x \cong \mathcal{G}_{f(x)} \otimes_{\mathcal{O}_{Y,f(x)}} \mathcal{O}_{X,x}$ 、 $(g \circ f)^{*} \cong f^{*} \circ g^{*}$ である。
$f\colon \operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$ を環準同型 $A \to B$ に対応する射とする。 $B$ 加群 $N$ と $A$ 加群 $M$ について $f_{*}\widetilde{N} \cong \widetilde{N_A}, \qquad f^{*}\widetilde{M} \cong \widetilde{B \otimes_A M}$ である。ここで $N_A$ は係数の制限である。
スキームの射 $f\colon X \to Y$ について、 $f^{*}$ は準連接層を準連接層に写す。 $X$ 、 $Y$ が局所 Noether なら連接層を連接層に写す。
スキームの射 $f\colon X \to Y$ が準コンパクトかつ分離的ならば、 $f_{*}$ は準連接層を準連接層に写す。 $f$ が有限射で $X$ 、 $Y$ が局所 Noether なら、 $f_{*}$ は連接層を連接層に写す。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 111 件、定義なども含めて 135 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理
- テンソル積は双線形写像の関手を表現する✓命題 6.1・米田の補題と表現可能関手
  - 加群のテンソル積定義 2.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 普遍元定義 4.1・米田の補題と表現可能関手
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - パラメータ付きの表現可能性✓命題 5.1・米田の補題と表現可能関手この先をたどる →
- Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 係数の拡大と制限定義 2.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 普遍射の族から随伴✓定理 2.7・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層
- 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層この先をたどる →
- 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層この先をたどる →
- 随伴は入射対象・射影対象を保つ✓命題 4.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →
- 芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
右随伴は極限を保つ✓定理 3.1・随伴関手と随伴関手定理
- 極限・余極限・完備定義 2.2・極限と余極限
- mono と核対✓命題 7.1・極限と余極限この先をたどる →
テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束
- 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層この先をたどる →
- テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
表現対象の一意性✓系 4.3・米田の補題と表現可能関手
加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束
- テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理（上で展開済み）
- 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層この先をたどる →
- M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層この先をたどる →
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 有限表示加群の Hom と局所化✓命題 5.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換この先をたどる →
分離スキームのアフィン開集合の交わり✓命題 3.4・分離射・固有射と付値判定法
- ファイバー積の存在✓定理 5.2・スキームの性質と射この先をたどる →
- アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 2.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
準連接層・連接層の核・余核・拡大✓命題 4.6・準連接層・連接層と直線束
- 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 大域切断と順像は左完全✓命題 6.2・層この先をたどる →
- アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 五項補題✓系 7.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環

これを使っている定理証明で参照している 9 件

微分の層の基本性質✓定理 5.2・次元・正規性・非特異性と微分の層
微分の層の二つの完全列✓定理 5.3・次元・正規性・非特異性と微分の層
行列式層の性質✓補題 6.2・次元・正規性・非特異性と微分の層
Serre の定理：十分ねじれば大域切断で生成される✓定理 9.5・準連接層・連接層と直線束
閉はめ込みの判定法✓命題 5.5・因子と直線束
連接層の延長✓補題 6.3・因子と直線束
射影直線の上に有限な完備曲線は射影的✓補題 4.1・曲線と Riemann–Roch の定理
準連接層は脆弱な準連接層に埋め込める✓補題 7.5・層コホモロジー
高次順像の記述✓命題 8.2・層コホモロジー

引き戻しと順像

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

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