数学 › 代数幾何 I（多様体とスキーム） › 次元・正規性・非特異性と微分の層

微分の層の二つの完全列

定理 5.3（「次元・正規性・非特異性と微分の層」§5）・ ✓公理まで証明済み

（第一完全列）スキームの射 $X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} S$ について、 $\mathcal{O}_X$ 加群の完全列 $f^{*}\Omega_{Y/S} \xrightarrow{\ u\ } \Omega_{X/S} \xrightarrow{\ v\ } \Omega_{X/Y} \longrightarrow 0, \qquad u(f^{*}(dy)) = d(f^{\sharp}y), \quad v(db) = db$ がある。
（第二完全列） $X \to S$ をスキームの射、 $i\colon Z \to X$ を閉はめ込み、 $\mathcal{I}$ をそのイデアル層とする。 $\mathcal{O}_Z$ 加群の完全列 $i^{*}\mathcal{I} \xrightarrow{\ \delta\ } i^{*}\Omega_{X/S} \xrightarrow{\ w\ } \Omega_{Z/S} \longrightarrow 0, \qquad \delta(i^{*}a) = i^{*}(da), \quad w(i^{*}(db)) = d(i^{\sharp}b)$ がある。アフィン開集合 $\operatorname{Spec} B \subseteq X$ の上で $\mathcal{I} = \widetilde{I}$ とすると、 $i^{*}\mathcal{I}$ は $B/I$ 加群 $I/I^2$ に伴う層である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 133 件、定義なども含めて 160 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

微分の層の基本性質✓定理 5.2・次元・正規性・非特異性と微分の層
- 対角射ははめ込み✓命題 3.2・分離射・固有射と付値判定法
  - ファイバー積の存在✓定理 5.2・スキームの性質と射この先をたどる →
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 閉部分スキームと準連接イデアル層✓定理 5.2・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束
  - テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層この先をたどる →
  - M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
  - 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層この先をたどる →
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 有限表示加群の Hom と局所化✓命題 5.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換この先をたどる →
- 引き戻しと順像✓命題 6.2・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- Kähler 微分加群定義 2.4・Kähler 微分と滑らかさの入口
- Kähler 微分加群の普遍性✓定理 2.5・Kähler 微分と滑らかさの入口
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 導分の基本性質✓補題 2.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
- Noether スキーム✓命題 2.3・スキームの性質と射この先をたどる →
- Kähler 微分の計算規則✓命題 4.2・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
引き戻しと順像✓命題 6.2・準連接層・連接層と直線束
- テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
- 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層この先をたどる →
- 右随伴は極限を保つ✓定理 3.1・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
- テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 表現対象の一意性✓系 4.3・米田の補題と表現可能関手
- 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 分離スキームのアフィン開集合の交わり✓命題 3.4・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 準連接層・連接層の核・余核・拡大✓命題 4.6・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
第一基本完全列✓定理 5.1・Kähler 微分と滑らかさの入口
- 導分の基本性質✓補題 2.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
- Kähler 微分加群の普遍性✓定理 2.5・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
- 係数の拡大と Hom✓補題 2.3・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- Hom による完全性の判定✓補題 2.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
閉部分スキームと準連接イデアル層✓定理 5.2・準連接層・連接層と直線束
- アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 2.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 閉埋め込みに沿った順像✓補題 5.1・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
第二基本完全列✓定理 5.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
- 第一基本完全列✓定理 5.1・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
- Hom による完全性の判定✓補題 2.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

これを使っている定理証明で参照している 2 件

非特異な部分多様体の余法層と随伴公式✓定理 9.1・次元・正規性・非特異性と微分の層
分岐と相対微分✓命題 3.2・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み

微分の層の二つの完全列

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件