数学 › 代数幾何 I（多様体とスキーム） › スキームの性質と射
Noether スキーム
をスキームとする。
- が局所 Noether であることと、 のすべてのアフィン開集合 について が Noether 環であることは同値である。とくに が Noether スキームであることと が Noether 環であることは同値である。
- が Noether スキームなら、底空間は Noether 位相空間で、すべての開集合は準コンパクト、すべての開部分スキームは Noether スキームである。また既約成分は有限個である。
- が局所 Noether なら、すべての茎 は Noether 局所環である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 35 件、定義なども含めて 41 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
アフィン交流補題✓補題 4.2・アフィンスキームとスキーム
アフィン開集合は開基をなす✓命題 4.1・アフィンスキームとスキーム
剰余環と局所化のスペクトル✓命題 4.6・局所化と素イデアルのスペクトル
- 環準同型が誘導する連続写像✓命題 4.5・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
主開集合の包含と局所化✓補題 2.1・アフィンスキームとスキーム
開基の上の層の延長✓定理 4.4・層
- 芽の族の層✓補題 4.2・層 この先をたどる →
- 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム
- V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
- 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
- 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
- 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトル
根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル
冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル
剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環 この先をたどる →
アフィン空間は Noether 位相空間✓補題 3.3・アフィン代数多様体と座標環
- V と I の性質✓補題 2.2・アフィン代数多様体と座標環
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
既約成分への分解✓命題 3.4・アフィン代数多様体と座標環
- 既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環