閉部分スキームと準連接イデアル層

定理 5.2（「準連接層・連接層と直線束」§5）・ ✓公理まで証明済み

$X$ をスキームとする。

閉はめ込み $i\colon Z \to X$ のイデアル層 $\mathcal{I}_Z$ は準連接で、 $\mathcal{O}_X/\mathcal{I}_Z \cong i_{*}\mathcal{O}_Z$ である。アフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ の上で $\mathcal{I}_Z|_U = \widetilde{I}$ とすると、 $i^{-1}(U) \to U$ は $\operatorname{Spec} A/I \to \operatorname{Spec} A$ と同値である。
準連接なイデアル層 $\mathcal{I}$ に対し、閉はめ込み $i\colon Z \to X$ で $\mathcal{I}_Z = \mathcal{I}$ となるものが存在する。 $Z$ の底空間は $\mathcal{O}_X/\mathcal{I}$ の台である。
イデアル層が等しい二つの閉はめ込みは同値である。

したがって $Z \mapsto \mathcal{I}_Z$ は、 $X$ の閉部分スキームの全体から準連接イデアル層の全体への全単射である。とくに $\operatorname{Spec} A$ の閉部分スキームは、 $A$ のイデアル $I$ による $\operatorname{Spec} A/I$ に限り、 $I$ と一対一に対応する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 99 件、定義なども含めて 123 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 2.3・分離射・固有射と付値判定法
- アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 4.2・スキームの性質と射
  - 剰余環と局所化のスペクトル✓命題 4.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 0 による延長と完全列✓命題 7.2・層この先をたどる →
  - 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 大域切断の局所化とアフィン性の判定✓補題 3.2・スキームの性質と射この先をたどる →
  - 主開集合の包含と局所化✓補題 2.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- アフィン性の判定✓補題 2.2・分離射・固有射と付値判定法
  - 大域切断の局所化とアフィン性の判定✓補題 3.2・スキームの性質と射この先をたどる →
  - Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 大域切断の局所化✓補題 2.1・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束
- テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理
  - テンソル積は双線形写像の関手を表現する✓命題 6.1・米田の補題と表現可能関手この先をたどる →
  - Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 係数の拡大と制限定義 2.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 普遍射の族から随伴✓定理 2.7・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
- 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層この先をたどる →
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 有限表示加群の Hom と局所化✓命題 5.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換この先をたどる →
準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束
- M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- アフィン交流補題✓補題 4.2・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
- 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束
- 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層（上で展開済み）
台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 素スペクトルと Zariski 位相定義 4.1・局所化と素イデアルのスペクトル
閉埋め込みに沿った順像✓補題 5.1・準連接層・連接層と直線束
- 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層この先をたどる →
- 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層

これを使っている定理証明で参照している 9 件

微分の層の基本性質✓定理 5.2・次元・正規性・非特異性と微分の層
微分の層の二つの完全列✓定理 5.3・次元・正規性・非特異性と微分の層
準連接層は $Γ_*$ から復元される✓定理 9.3・準連接層・連接層と直線束
Serre の定理：十分ねじれば大域切断で生成される✓定理 9.5・準連接層・連接層と直線束
閉はめ込みと可逆層のねじり✓補題 6.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
座標近傍ごとの全射性とはめ込み✓補題 5.3・因子と直線束
豊富性の判定法✓定理 6.4・因子と直線束
被約スキームの射は閉点で決まる✓補題 5.2・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
Serre のアフィン判定法✓定理 7.8・層コホモロジー

閉部分スキームと準連接イデアル層

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

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