数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み

分岐と相対微分

命題 3.2（「Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み」§3）・ ✓公理まで証明済み

$f\colon X \to Y$ を曲線の分離的な有限射とする。

$0 \to f^*\Omega_Y \to \Omega_X \to \Omega_{X/Y} \to 0$ は完全である。
点 $P \in X$ 、 $Q = f(P)$ 、素元 $u$ （ $P$ ）、 $t$ （ $Q$ ）について、 $(\Omega_{X/Y})_P \cong \mathcal{O}_P/(dt/du)$ で、長さは $v_P(dt/du) < \infty$ である（ $t$ は $f^{\#}t$ の略記）。
この長さは、 $P$ での分岐が従順なら $e_P - 1$ 、野性的なら $e_P$ 以上である。とくに $\Omega_{X/Y}$ の台は分岐点の全体で、有限集合である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 342 件、定義なども含めて 397 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

微分の層の二つの完全列✓定理 5.3・次元・正規性・非特異性と微分の層
- 微分の層の基本性質✓定理 5.2・次元・正規性・非特異性と微分の層
  - 対角射ははめ込み✓命題 3.2・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - 閉部分スキームと準連接イデアル層✓定理 5.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 引き戻しと順像✓命題 6.2・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
  - Kähler 微分加群定義 2.4・Kähler 微分と滑らかさの入口
  - Kähler 微分加群の普遍性✓定理 2.5・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
  - Noether スキーム✓命題 2.3・スキームの性質と射この先をたどる →
  - Kähler 微分の計算規則✓命題 4.2・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- 引き戻しと順像✓命題 6.2・準連接層・連接層と直線束
  - テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
  - 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層この先をたどる →
  - 右随伴は極限を保つ✓定理 3.1・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
  - テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 表現対象の一意性✓系 4.3・米田の補題と表現可能関手
  - 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 分離スキームのアフィン開集合の交わり✓命題 3.4・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - 準連接層・連接層の核・余核・拡大✓命題 4.6・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 第一基本完全列✓定理 5.1・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
- 閉部分スキームと準連接イデアル層✓定理 5.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 第二基本完全列✓定理 5.2・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
素元の微分は生成元✓補題 2.1・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
- 微分の層の基本性質✓定理 5.2・次元・正規性・非特異性と微分の層（上で展開済み）
- 非特異性と Ω の局所自由性✓定理 7.3・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
- 余接空間と Kähler 微分✓命題 8.1・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- Kähler 微分の計算規則✓命題 4.2・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
第一基本完全列✓定理 5.1・Kähler 微分と滑らかさの入口
- 導分の基本性質✓補題 2.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
- Kähler 微分加群の普遍性✓定理 2.5・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- 係数の拡大と Hom✓補題 2.3・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- Hom による完全性の判定✓補題 2.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
分離拡大と Ω = 0✓定理 7.1・Kähler 微分と滑らかさの入口
- 分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
- 導分の基本性質✓補題 2.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
- フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
- PID は UFD✓定理 2.5・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- Jacobi 行列による表示✓系 5.3・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- 第一基本完全列✓定理 5.1・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
- 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環
- 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
- Jordan–Hölder の定理（加群）✓定理 5.3・Noether 環と Artin 環この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Riemann–Hurwitz の公式✓定理 3.4・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み

分岐と相対微分

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件