数学 › 代数幾何 I（多様体とスキーム） › 次元・正規性・非特異性と微分の層

非特異な部分多様体の余法層と随伴公式

定理 9.1（「次元・正規性・非特異性と微分の層」§9）・ ✓公理まで証明済み

$k$ を代数閉体、 $X$ を $k$ 上の $n$ 次元の非特異多様体、 $i\colon Y \to X$ を閉はめ込みで $Y$ が整であるもの（閉部分多様体）とし、 $\mathcal{I}$ をそのイデアル層、 $m = \dim Y$ 、 $r = n - m$ とする。

次は同値である。(a) $Y$ は非特異である。(b) $\Omega_{Y/k}$ は局所自由層である。(c) $\Omega_{Y/k}$ は局所自由層で、第二完全列は左でも完全である。すなわち $0 \longrightarrow \mathcal{C}_{Y/X} \xrightarrow{\ \delta\ } i^{*}\Omega_{X/k} \longrightarrow \Omega_{Y/k} \longrightarrow 0$ は完全である。
$Y$ が非特異なら、余法層 $\mathcal{C}_{Y/X}$ は階数 $r$ の局所自由層で、 $Y$ の各点は、 $\mathcal{I}$ が $r$ 個の切断で生成されるような $X$ の開近傍をもつ。
（随伴公式） $Y$ が非特異なら $\omega_Y \cong i^{*}\omega_X \otimes \det\mathcal{N}_{Y/X}$ である。 $r = 1$ のとき、 $\mathcal{I}$ は可逆層で、 $\mathcal{O}_X(Y) = \mathcal{I}^{\vee}$ と書くと $\omega_Y \cong i^{*}(\omega_X \otimes \mathcal{O}_X(Y))$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 353 件、定義なども含めて 410 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 12 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

多様体の次元✓定理 2.4・次元・正規性・非特異性と微分の層
- 次元と局所環✓補題 2.2・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
- 次元と超越次数✓定理 7.1・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- アフィン整域の鎖状性✓定理 7.4・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 分離射・固有射の保存✓命題 6.2・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 射の性質の保存✓命題 6.1・スキームの性質と射この先をたどる →
- 代数閉体上の整域のテンソル積✓補題 6.1・アフィン代数多様体と座標環この先をたどる →
非特異性と Ω の局所自由性✓定理 7.3・次元・正規性・非特異性と微分の層
- 体上有限型のスキームの閉点✓補題 2.3・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
- 余接空間と Kähler 微分✓命題 8.1・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- 微分の層の基本性質✓定理 5.2・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
- 極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 多様体の次元✓定理 2.4・次元・正規性・非特異性と微分の層（上で展開済み）
- 一般高さ定理（Krull）✓定理 4.3・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 埋め込み次元・正則局所環・正則環定義 6.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- 連接層の台と中山の補題✓補題 7.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- Kähler 微分の計算規則✓命題 4.2・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- 関数体の微分の次元✓補題 7.1・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
- 正則局所環の局所化✓系 7.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
- ファイバーの次元が生成点と等しければ局所自由✓補題 7.2・次元・正規性・非特異性と微分の層
  - 連接層の台と中山の補題✓補題 7.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
行列式層の性質✓補題 6.2・次元・正規性・非特異性と微分の層
- 行列式（ライプニッツの公式）定義 3.1・行列式とその性質
- 引き戻しと順像✓命題 6.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- Picard 群✓命題 7.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
局所環上の有限射影加群は自由✓定理 5.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- Schanuel の補題✓補題 5.6・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 平坦な商をもつ短完全列✓補題 4.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
局所自由性の判定✓定理 7.3・準連接層・連接層と直線束
- 準連接層・連接層の核・余核・拡大✓命題 4.6・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 連接層の台と中山の補題✓補題 7.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 有限表示加群の平坦性・射影性・局所自由性✓定理 5.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 有限射影加群の階数定義 5.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
微分の層の二つの完全列✓定理 5.3・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
正則局所環の剰余✓命題 6.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
正則局所環は整域✓定理 6.3・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
有限生成加群の全射自己準同型は同型✓定理 3.7・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
連接層の台と中山の補題✓補題 7.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
体上有限型のスキームの閉点✓補題 2.3・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →

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局所完全交叉の双対化層✓定理 7.3・Ext 層と Serre 双対

非特異な部分多様体の余法層と随伴公式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 12 件）

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