数学 › 代数幾何 I（多様体とスキーム） › 次元・正規性・非特異性と微分の層

次元と局所環

補題 2.2（「次元・正規性・非特異性と微分の層」§2）・ ✓公理まで証明済み

$X$ をスキームとする。

既約閉集合 $Z$ の生成点を $z$ とすると、 $\operatorname{codim}(Z, X) = \dim \mathcal{O}_{X,z}$ である。
$\dim X = \sup_{x \in X} \dim \mathcal{O}_{X,x}$ である。とくに開被覆 $X = \bigcup_i U_i$ について $\dim X = \sup_i \dim U_i$ で、環 $A$ について $\dim \operatorname{Spec} A = \dim A$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 25 件、定義なども含めて 34 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

既約閉集合の生成点✓命題 4.3・アフィンスキームとスキーム
- 既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
- Spec の位相の基本性質✓定理 4.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 位相の基底定義 5.1・位相空間の定義と基本概念
  - 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル
    Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題（上で展開済み）
  - V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトル
    根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - コンパクト空間定義 3.2・コンパクト性
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題（上で展開済み）
  - 極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    体は整域✓定理 5.2・環と体の基礎この先をたどる →
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - T0・T1・T2定義 3.1・分離公理と距離づけ可能性
  - 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル
    冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
    剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 根基はイデアル✓補題 2.3・局所化と素イデアルのスペクトル
次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル
    環準同型定義 7.1・環と体の基礎
    素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル
  - Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題
    選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
    整合的集合の比較可能性✓補題 5.5・選択公理と Zorn の補題
    始切片で増える整列集合の合併✓補題 5.4・選択公理と Zorn の補題
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題（上で展開済み）
  - 極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

多様体の次元✓定理 2.4・次元・正規性・非特異性と微分の層

次元と局所環

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件