数学 › 代数幾何 I（多様体とスキーム） › 次元・正規性・非特異性と微分の層

多様体の次元

定理 2.4（「次元・正規性・非特異性と微分の層」§2）・ ✓公理まで証明済み

$k$ を代数閉体、 $X$ を $k$ 上の多様体とする。

$\dim X = \operatorname{trdeg}_k K(X)$ で、有限である。空でない開集合 $U \subseteq X$ について $\dim U = \dim X$ である。
すべての閉点 $x \in X$ で $\dim \mathcal{O}_{X,x} = \dim X$ である。
$Z \subseteq X$ を既約閉集合とし、被約な閉部分スキームの構造を入れる。 $Z$ は多様体で、 $\dim Z + \operatorname{codim}(Z, X) = \dim X$ である。
$Y$ も $k$ 上の多様体とすると、 $X \times_k Y$ は多様体で、 $\dim(X \times_k Y) = \dim X + \dim Y$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 203 件、定義なども含めて 240 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

次元と局所環✓補題 2.2・次元・正規性・非特異性と微分の層
- 既約閉集合の生成点✓命題 4.3・アフィンスキームとスキーム
  - 既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
  - Spec の位相の基本性質✓定理 4.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
次元と超越次数✓定理 7.1・Krull 次元と単項イデアル定理
- 多変数多項式環の次元✓系 6.3・Krull 次元と単項イデアル定理
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 多項式環の次元✓定理 6.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- 整性の判定✓定理 2.3・整拡大
  - 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 整拡大と次元✓命題 3.1・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- Noether の正規化定理✓定理 3.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
アフィン整域の鎖状性✓定理 7.4・Krull 次元と単項イデアル定理
- 次元と超越次数✓定理 7.1・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
- 高さ 1 の素イデアルによる剰余✓補題 7.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
分離射・固有射の保存✓命題 6.2・分離射・固有射と付値判定法
- 射の性質の保存✓命題 6.1・スキームの性質と射（上で展開済み）
- はめ込みは単射的な射✓補題 2.4・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- スキームは点の関手で決まる✓定理 7.1・スキームの性質と射この先をたどる →
- アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 2.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 対角射の底変換✓補題 6.1・分離射・固有射と付値判定法
- 対角射ははめ込み✓命題 3.2・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 有限射は閉写像でファイバーは有限✓命題 6.2・スキームの性質と射この先をたどる →
射の性質の保存✓命題 6.1・スキームの性質と射
- 0 による延長と完全列✓命題 7.2・層この先をたどる →
- 射の有限性はアフィン開被覆の取り方によらない✓命題 3.3・スキームの性質と射この先をたどる →
- ファイバー積の存在✓定理 5.2・スキームの性質と射この先をたどる →
- アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 4.2・スキームの性質と射この先をたどる →
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
代数閉体上の整域のテンソル積✓補題 6.1・アフィン代数多様体と座標環
- 基底の存在（Hamel 基底）✓定理 6.3・選択公理と Zorn の補題
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- Zariski の補題（弱零点定理）✓定理 4.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
- イデアルと代数的集合の対応✓定理 2.3・アフィン代数多様体と座標環この先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）

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正規化の存在と普遍性✓定理 4.2・次元・正規性・非特異性と微分の層
非特異性と Ω の局所自由性✓定理 7.3・次元・正規性・非特異性と微分の層
特異点の全体は真の閉集合✓系 7.4・次元・正規性・非特異性と微分の層
非特異な部分多様体の余法層と随伴公式✓定理 9.1・次元・正規性・非特異性と微分の層
非特異曲線の局所環と有理写像の延長✓命題 10.1・次元・正規性・非特異性と微分の層
層の Hilbert 多項式✓定理 7.6・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
爆発の座標近傍✓補題 7.2・曲面上の交叉理論
曲線の射は有限✓定理 3.1・曲線と Riemann–Roch の定理
Cohen–Macaulay 性とコホモロジーの消滅✓補題 6.3・Ext 層と Serre 双対
局所完全交叉の双対化層✓定理 7.3・Ext 層と Serre 双対

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