次元と超越次数

定理 7.1（「Krull 次元と単項イデアル定理」§7）・ ✓公理まで証明済み

$A \ne 0$ を有限生成 $k$ 代数とする。

$y_1, \ldots, y_d \in A$ が $k$ 上代数的に独立（代入 $k[Y_1, \ldots, Y_d] \to A$ が単射）で、 $A$ が $k[y_1, \ldots, y_d]$ 上有限なら、 $\dim A = d$ である。このような $y_1, \ldots, y_d$ は存在し、とくに $\dim A < \infty$ である。
$A$ が整域なら $\dim A = \operatorname{trdeg}_k \operatorname{Frac} A$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 104 件、定義なども含めて 116 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

多変数多項式環の次元✓系 6.3・Krull 次元と単項イデアル定理
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 多項式環の次元✓定理 6.2・Krull 次元と単項イデアル定理
  - 多項式環の素イデアルのファイバー✓補題 6.1・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - Noether 環の素イデアルの高さは有限✓系 4.4・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - 一般高さ定理の逆✓命題 4.5・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  - 一般高さ定理（Krull）✓定理 4.3・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
整性の判定✓定理 2.3・整拡大
- 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題
  - 多項式環からの代入✓補題 3.1・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - 可換環上の余因子行列の恒等式✓補題 3.2・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
整拡大と次元✓命題 3.1・Krull 次元と単項イデアル定理
- 比較不能性✓定理 4.3・整拡大
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大この先をたどる →
- 横たわり定理✓定理 4.4・整拡大
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大この先をたどる →
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 上昇定理✓定理 4.6・整拡大
  - 整性は剰余と局所化で保たれる✓命題 2.5・整拡大（上で展開済み）
  - 横たわり定理✓定理 4.4・整拡大（上で展開済み）
  - 整拡大のスペクトルの写像は全射な閉写像✓系 4.5・整拡大この先をたどる →
- 整性は剰余と局所化で保たれる✓命題 2.5・整拡大
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 下降定理✓定理 5.4・整拡大この先をたどる →
Noether の正規化定理✓定理 3.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎
  - 体定義 5.1・環と体の基礎
  - 環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
  - 環準同型の核✓命題 7.2・環と体の基礎この先をたどる →
- 整性の判定✓定理 2.3・整拡大（上で展開済み）
- 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大
  - 整性の判定✓定理 2.3・整拡大（上で展開済み）
- 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- 超越基底の存在と超越次数の一意性✓定理 2.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 6 件

アフィン多様体の積✓命題 6.2・アフィン代数多様体と座標環
アフィン多様体の次元✓定理 7.2・アフィン代数多様体と座標環
多様体の次元✓定理 2.4・次元・正規性・非特異性と微分の層
高さ 1 の素イデアルによる剰余✓補題 7.2・Krull 次元と単項イデアル定理
アフィン整域の鎖状性✓定理 7.4・Krull 次元と単項イデアル定理
体上有限生成代数は鎖状✓系 7.5・Krull 次元と単項イデアル定理

次元と超越次数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 6 件