数学 › 可換環論 › Krull 次元と単項イデアル定理

体上有限生成代数は鎖状

系 7.5（「Krull 次元と単項イデアル定理」§7） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 114 件、定義なども含めて 127 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル

  • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環

    • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
    • 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
    • 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  • 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環

    • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    • 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
  • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環

    • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
    • 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
    • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
• アフィン整域の鎖状性✓定理 7.4・Krull 次元と単項イデアル定理

  • 次元と超越次数✓定理 7.1・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
  • 高さ 1 の素イデアルによる剰余✓補題 7.2・Krull 次元と単項イデアル定理

    • 次元と超越次数✓定理 7.1・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
    • R が UFD なら R[x] も UFD✓定理 3.5・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
    • UFD は整閉✓命題 3.3・整拡大 この先をたどる →
    • 整拡大と次元✓命題 3.1・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
    • 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
    • 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
    • 代数性の推移と添加✓補題 2.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理 この先をたどる →
    • 超越基底の存在と超越次数の一意性✓定理 2.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理 この先をたどる →
    • 超越次数定義 2.5・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
  • 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  • 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
  • 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
• Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環

  • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  • 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
  • ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  • ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大

    • ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
• イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理

  • 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  • 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  • Noether 環の極小素イデアル✓系 3.4・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
  • 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
• 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理

  • 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  • 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
  • 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
• 次元と超越次数✓定理 7.1・Krull 次元と単項イデアル定理

  • 多変数多項式環の次元✓系 6.3・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
  • 整性の判定✓定理 2.3・整拡大 この先をたどる →
  • 整拡大と次元✓命題 3.1・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
  • Noether の正規化定理✓定理 3.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理 この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。