Krull 次元と単項イデアル定理：高さ・パラメータ系・アフィン代数の次元

0. この記事の要点

直線は 1 次元、平面は 2 次元、という素朴な感覚を、図形ではなく環の言葉で言い直すのがこの記事の話です。環の中のイデアルの並びの長さを「次元」と定めると、座標環だけでなく整数のような環にも次元が決まります。読み終えると、方程式を 1 本加えても次元は高々 1 しか下がらないこと、多項式環の次元が変数の個数になることを、証明つきで説明できるようになります。以下の要点は、あとの節で順に証明する結果の一覧です。

• 素イデアルの狭義の鎖 $\mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_r$ の長さ $r$ の上限を Krull 次元 $\dim A$ といいます。$\mathfrak{p}$ で終わる鎖の長さの上限が高さ $\operatorname{ht}\mathfrak{p}$、$\mathfrak{p}$ から始まる鎖の長さの上限が余高さで、それぞれ $\dim A_{\mathfrak{p}}$、$\dim A/\mathfrak{p}$ に等しくなります。Noether 環では「次元 $0$」と「Artin 環」は同じことです。
• 整拡大 $A \subseteq B$ では $\dim A = \dim B$ です。横たわり・上昇定理・比較不能性がそのまま次元の等式になります。$A$ が整閉整域で $B$ が整域なら、下降定理により高さも保たれます。
• Krull の単項イデアル定理: Noether 環で $1$ 元が生成するイデアルの極小素イデアルの高さは $1$ 以下です。一般高さ定理: $n$ 元なら $n$ 以下です。逆に、高さ $n$ の素イデアルは $n$ 元で生成されるイデアルの極小素イデアルになります。証明の要は、Artin 環の降鎖条件と記号的冪（素イデアルの冪を「準素」になるよう補正したもの）です。
• Noether 局所環 $(A, \mathfrak{m}, k)$ の次元は有限で、$\mathfrak{m}$ 準素イデアルを生成する元の個数の最小値 $\delta(A)$ に等しく、$\dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ 以下です。$\dim A$ 個の元からなるそのような生成系をパラメータ系といいます。Hilbert–Samuel 多項式（$\mathfrak{m}$ の冪による剰余環の大きさを表す多項式）の次数との一致は、記事 次数環と Hilbert–Samuel 多項式 で示します。
• Noether 環 $A$ について $\dim A[x] = \dim A + 1$ です。とくに $\dim k[x_1, \ldots, x_n] = n$、$\dim \mathbb{Z}[x] = 2$ です。
• 体上有限生成な整域 $A$ では $\dim A$ は商体の超越次数に等しく、すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ で $\operatorname{ht}\mathfrak{p} + \dim A/\mathfrak{p} = \dim A$ が成り立ちます（鎖状性。素イデアルの間の途中を飛ばさない鎖の長さがそろうこと）。鍵は、整閉整域である多項式環の上での下降定理です。

この記事で使う事前知識

• 整拡大: $B$ の各元が、$A$ 係数のモニック多項式の根になっているときの $A \subseteq B$。→ 整拡大
• 整閉整域: 自分の商体の中で、自分上整な元がもとからその環に入っている整域。→ 整閉整域
• 準素イデアル: $ab \in Q$ かつ $a \notin Q$ なら $b$ の冪が $Q$ に入る、というイデアル。→ 準素イデアル
• 記号的冪: 素イデアル $\mathfrak{q}$ の冪 $\mathfrak{q}^n$ から、$\mathfrak{q}$ 準素の部分だけを取り出したもの。→ 記号的冪
• 超越次数: 体の拡大で、代数的に独立にとれる元の最大個数。→ 超越次数

1. 動機

平面の中には曲線があり、曲線の上には点があります。この「点 ⊂ 曲線 ⊂ 平面」という包含の列は、座標環 $k[x, y]$ の素イデアルの列としては向きが逆転し、たとえば

$$(0) \subsetneq (x) \subsetneq (x, y)$$

になります。$(0)$ が平面全体、$(x)$ が直線 $x = 0$、$(x, y)$ が原点に対応します。Krull は、このような素イデアルの鎖の長さの上限を環の次元と定めました。定義は純粋に代数的で、体上の代数にも、$\mathbb{Z}$ のような数論的な環にも同じように使えます。$\mathbb{Z}$ の素イデアルの鎖は $(0) \subsetneq (p)$ が最長なので $\dim \mathbb{Z} = 1$ で、$\mathbb{Z}$ は「曲線」のように振る舞います。$\mathbb{Z}[x]$ は「数論的な曲面」で、次元は $2$ になります。

定義は簡単ですが、すぐに次の疑問が出てきます。

1. 次元は有限なのか。Noether 環でも無限次元になりうるのか。
2. 体上の多様体について、直観的な次元（独立な座標の個数、すなわち関数体の超越次数）と一致するのか。
3. 方程式を $1$ 本課すと次元は高々 $1$ しか下がらない、という直観は正しいのか。

3 に答えるのが Krull の単項イデアル定理で、この記事の中心です。これを $n$ 本の方程式に一般化した一般高さ定理から、Noether 局所環の次元は有限で、$\mathfrak{m}$ を生成する元の個数で抑えられることが出ます。2 には、整拡大で次元が変わらないことと、整拡大の章の下降定理、Noether の正規化定理を組み合わせて答えます。1 については、局所環なら有限ですが、局所でない Noether 環には無限次元のものがあります（注意 7.8）。

この記事の結果は次のように使われます。

• 代数幾何: 多様体の次元と余次元、「超曲面は余次元 $1$」、Weil 因子（高さ $1$ の素イデアル）、ファイバーの次元。
• 離散付値環と Dedekind 環: 次元 $1$ の Noether 整閉整域の局所化が離散付値環になること。
• Cohen–Macaulay 環と正則局所環: パラメータ系、$\dim A \le \dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ で等号が成り立つ局所環としての正則局所環。

環はすべて単位元をもつ可換環です。局所化・素イデアルの対応・素イデアル回避は記事 局所化と素イデアルのスペクトル、Artin 環と長さは記事 Noether 環と Artin 環、上昇定理・下降定理は記事 整拡大 のものを使います。

2. Krull 次元と高さ

定義 2.1（Krull 次元・高さ・余高さ）↗

$A \ne 0$ を環とする。

1. $A$ の素イデアルの列 $\mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_r$ を、長さ $r$ の素イデアルの鎖という。素イデアルの鎖の長さの上限 $\dim A \in \{0, 1, 2, \ldots\} \cup \{\infty\}$ を $A$ の Krull 次元（または単に次元）という。
2. 素イデアル $\mathfrak{p}$ について、$\mathfrak{p}_r = \mathfrak{p}$ となる鎖の長さの上限を $\mathfrak{p}$ の高さといい $\operatorname{ht}\mathfrak{p}$ と書く。$\mathfrak{p}_0 = \mathfrak{p}$ となる鎖の長さの上限を $\mathfrak{p}$ の余高さという。
3. $I \ne A$ をイデアルとする。$I$ を含む素イデアルのうち包含に関して極小なものを、$I$ の極小素イデアルという。$I$ の高さを $\operatorname{ht} I = \min\{\operatorname{ht}\mathfrak{p} : \mathfrak{p} \supseteq I \text{ は素イデアル}\}$ と定める。

$\{0, 1, 2, \ldots\} \cup \{\infty\}$ は空でない部分集合がつねに最小元をもつので、3 の最小値は存在します。$\mathfrak{q} \subseteq \mathfrak{p}$ なら、$\mathfrak{q}$ で終わる鎖に $\mathfrak{p}$ を付け足せる（$\mathfrak{q} = \mathfrak{p}$ なら何もしない）ので $\operatorname{ht}\mathfrak{q} \le \operatorname{ht}\mathfrak{p}$ で、$\mathfrak{q} \subsetneq \mathfrak{p}$ かつ $\operatorname{ht}\mathfrak{q} < \infty$ なら $\operatorname{ht}\mathfrak{q} + 1 \le \operatorname{ht}\mathfrak{p}$ です。この単調性を以下で何度も使います。

最初の例 $k[x, y]$ の鎖 $(0) \subsetneq (x) \subsetneq (x, y)$ で、高さと余高さがどの長さに当たるかを図にします。

補題 2.2（イデアルの極小素イデアル）✓

$A$ を環、$I \ne A$ をイデアルとする。

1. $I$ を含む任意の素イデアルは、$I$ のある極小素イデアルを含む。とくに $\operatorname{ht} I$ は $I$ の極小素イデアルの高さの最小値に等しい。
2. $A$ が Noether 環なら、$I$ の極小素イデアルは有限個である。
3. $\mathfrak{p}$ を $I$ を含む素イデアルとする。$\mathfrak{p}$ が $I$ の極小素イデアルであることと、局所環 $A_{\mathfrak{p}}$ において $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ が $IA_{\mathfrak{p}}$ を含むただ一つの素イデアルであることは同値である。

証明（補題 2.2）

$\pi\colon A \to A/I$ を自然な全射とします。補題 2.5［局所化と素イデアルのスペクトル］ により、$\mathfrak{q} \mapsto \pi(\mathfrak{q})$ は $I$ を含む $A$ の素イデアル全体から $A/I$ の素イデアル全体への、包含関係を保つ全単射です。したがって $I$ の極小素イデアルは、$A/I$ の極小素イデアルの逆像にちょうど一致します。

(1) $\mathfrak{q} \supseteq I$ を素イデアルとします。$A/I \ne 0$ なので、命題 4.7［局所化と素イデアルのスペクトル］ により素イデアル $\pi(\mathfrak{q})$ は $A/I$ のある極小素イデアル $\bar{\mathfrak{p}}$ を含みます。$\mathfrak{p} = \pi^{-1}(\bar{\mathfrak{p}})$ は $I$ の極小素イデアルで $\mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{q}$ です。高さの単調性から $\operatorname{ht}\mathfrak{p} \le \operatorname{ht}\mathfrak{q}$ なので、$\operatorname{ht} I$ を与える最小値は極小素イデアルの中で達成されます。

(2) 系 4.1［Noether 環と Artin 環］ の (1) により $A/I$ は Noether 環で、系 3.4［準素分解と随伴素イデアル］ によりその極小素イデアルは有限個です。上の対応により $I$ の極小素イデアルも有限個です。

(3) $S = A \setminus \mathfrak{p}$ とします。定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (4) により、$\mathfrak{q} \mapsto \mathfrak{q}A_{\mathfrak{p}}$ は $\mathfrak{p}$ に含まれる素イデアル全体から $\operatorname{Spec} A_{\mathfrak{p}}$ への包含を保つ全単射です。$\mathfrak{q} \supseteq I$ なら $\mathfrak{q}A_{\mathfrak{p}} \supseteq IA_{\mathfrak{p}}$ は明らかです。逆に $\mathfrak{q}A_{\mathfrak{p}} \supseteq IA_{\mathfrak{p}}$ なら、各 $a \in I$ について $a/1 \in \mathfrak{q}A_{\mathfrak{p}}$ なので、同定理の (3) により $a \in \mathfrak{q}$ です。よって $IA_{\mathfrak{p}}$ を含む $A_{\mathfrak{p}}$ の素イデアルは、$I \subseteq \mathfrak{q} \subseteq \mathfrak{p}$ を満たす素イデアル $\mathfrak{q}$ と一対一に対応します。$\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ がそのただ一つであることは、そのような $\mathfrak{q}$ が $\mathfrak{p}$ だけであること、すなわち $\mathfrak{p}$ が $I$ の極小素イデアルであることと同じです。

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命題 2.3（次元と高さの基本性質）✓

$A \ne 0$ を環、$\mathfrak{p}$ を素イデアルとする。

1. $\operatorname{ht}\mathfrak{p} = \dim A_{\mathfrak{p}}$ である。
2. $\mathfrak{p}$ の余高さは $\dim A/\mathfrak{p}$ に等しい。
3. $\operatorname{ht}\mathfrak{p} + \dim A/\mathfrak{p} \le \dim A$ である。
4. $\dim A = \sup\{\operatorname{ht}\mathfrak{m} : \mathfrak{m} \text{ は極大イデアル}\} = \sup\{\dim A/\mathfrak{q} : \mathfrak{q} \text{ は極小素イデアル}\}$ である。とくに $(A, \mathfrak{m})$ が局所環なら $\dim A = \operatorname{ht}\mathfrak{m}$ である。

証明（命題 2.3）

(1) 定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (4) により、$A_{\mathfrak{p}}$ の素イデアルの鎖は、$\mathfrak{p}$ に含まれる $A$ の素イデアルの鎖と、長さを保って一対一に対応します。$\mathfrak{p}$ に含まれる素イデアルの鎖は、最後が $\mathfrak{p}$ でなければ $\mathfrak{p}$ を付け足して長さを $1$ 増やせます。したがって $\mathfrak{p}$ に含まれる鎖の長さの上限は、$\mathfrak{p}$ で終わる鎖の長さの上限 $\operatorname{ht}\mathfrak{p}$ に等しく、それが $\dim A_{\mathfrak{p}}$ です。

(2) 補題 2.5［局所化と素イデアルのスペクトル］ により、$A/\mathfrak{p}$ の素イデアルの鎖は $\mathfrak{p}$ を含む素イデアルの鎖と長さを保って対応します。(1) と同様に、$\mathfrak{p}$ を含む鎖は最初に $\mathfrak{p}$ を付け足せるので、その長さの上限は余高さに等しくなります。

(3) $\mathfrak{p}$ で終わる長さ $r$ の鎖と $\mathfrak{p}$ で始まる長さ $s$ の鎖をつなぐと、長さ $r + s$ の鎖になります。よって $r + s \le \dim A$ で、上限をとれば主張を得ます。

(4) 任意の鎖 $\mathfrak{p}_0 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_r$ をとります。定理 6.5［選択公理と Zorn の補題］ により $\mathfrak{p}_r$ はある極大イデアル $\mathfrak{m}$ に含まれ、$\mathfrak{p}_r \ne \mathfrak{m}$ なら $\mathfrak{m}$ を付け足して、長さ $r$ 以上の $\mathfrak{m}$ で終わる鎖が得られます。よって $r \le \operatorname{ht}\mathfrak{m}$ です。同様に 命題 4.7［局所化と素イデアルのスペクトル］ により $\mathfrak{p}_0$ はある極小素イデアル $\mathfrak{q}$ を含み、長さ $r$ 以上の $\mathfrak{q}$ で始まる鎖が得られるので、(2) により $r \le \dim A/\mathfrak{q}$ です。逆向きの不等式 $\operatorname{ht}\mathfrak{m} \le \dim A$、$\dim A/\mathfrak{q} \le \dim A$ は (3) から出ます。局所環では極大イデアルが $\mathfrak{m}$ だけなので $\dim A = \operatorname{ht}\mathfrak{m}$ です。

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(1) と (2) は、高さが「$\mathfrak{p}$ の近くだけを見た次元」、余高さが「閉集合 $V(\mathfrak{p})$ の次元」であることを言っています。幾何学では $\operatorname{ht}\mathfrak{p}$ を部分多様体 $V(\mathfrak{p})$ の余次元と呼びます。(3) の不等式で等号が成り立つかどうかは微妙な問題で、定理 7.4 と演習 演習 8.3 で扱います。

例 2.4（次元の最初の例）

1. 体の素イデアルは $(0)$ だけなので、体の次元は $0$ です。
2. 体でない PID $A$（$\mathbb{Z}$、体 $k$ 上の $k[x]$ など）の次元は $1$ です。実際、$0$ でない素イデアル $(\pi)$ の生成元 $\pi$ は素元で、素元は既約元です（$\pi = ab$ なら $\pi \mid a$ としてよく、$a = \pi c$ から $\pi(1 - cb) = 0$、$cb = 1$ で $b$ は単元）。補題 2.4［多項式環と体の拡大］ により $(\pi)$ は極大イデアルです。したがって素イデアルの鎖は $(0) \subsetneq (\pi)$ が最長で、$A$ が体でないのでそのような鎖が存在します。
3. Artin 環の素イデアルはすべて極大イデアルです（命題 6.1［Noether 環と Artin 環］ の (1)）。極大イデアルを真に含む真のイデアルは無いので、長さ $1$ の鎖は存在せず、Artin 環の次元は $0$ です。
4. 体 $k$ 上の無限変数の多項式環 $k[x_1, x_2, \ldots]$ には、各 $n$ について長さ $n$ の鎖 $(0) \subsetneq (x_1) \subsetneq (x_1, x_2) \subsetneq \cdots \subsetneq (x_1, \ldots, x_n)$ があります（$(x_1, \ldots, x_i)$ による剰余環は残りの変数の多項式環で整域です）。よって次元は $\infty$ です。この環は Noether ではありません。

次の系は、Noether 環と Artin 環 の記事の秋月–Hopkins の定理を、次元の言葉で言い直したものです。

系 2.5（次元 0 の Noether 環）✓

$A \ne 0$ を Noether 環とする。$\dim A = 0$ であることと、$A$ が Artin 環であることは同値である。$(A, \mathfrak{m})$ が Noether 局所環なら、これらはある $n \ge 1$ で $\mathfrak{m}^n = 0$ となることとも同値である。

証明（系 2.5）

$\dim A = 0$ であることと、$A$ の素イデアルがすべて極大イデアルであることは同値です。実際、素イデアル $\mathfrak{p}$ が極大でなければ、定理 6.5［選択公理と Zorn の補題］ により $\mathfrak{p} \subsetneq \mathfrak{m}$ となる極大イデアル $\mathfrak{m}$ があり、長さ $1$ の鎖ができます。逆に長さ $1$ の鎖 $\mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p}_1$ があれば、$\mathfrak{p}_1$ は真のイデアルなので $\mathfrak{p}_0$ は極大ではありません。$A$ は Noether 環なので、定理 6.3［Noether 環と Artin 環］ により「素イデアルがすべて極大」は「$A$ が Artin 環」と同値です。局所環の場合の最後の同値は 系 6.5［Noether 環と Artin 環］ の (1) と (3) の同値そのものです。

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3. 整拡大と次元

整拡大の記事で示した横たわり・上昇定理・比較不能性は、素イデアルの鎖を上下に運ぶ道具でした。これを次元の言葉にまとめると、次の命題になります。

命題 3.1（整拡大と次元）✓

$A \subseteq B$ を整拡大とし、$A \ne 0$ とする。

1. $\dim A = \dim B$ である。
2. $\mathfrak{q}$ を $B$ の素イデアル、$\mathfrak{p} = \mathfrak{q} \cap A$ とすると、$\operatorname{ht}\mathfrak{q} \le \operatorname{ht}\mathfrak{p}$ かつ $\dim B/\mathfrak{q} = \dim A/\mathfrak{p}$ である。
3. さらに $A$ が整閉整域で $B$ が整域なら、(2) で $\operatorname{ht}\mathfrak{q} = \operatorname{ht}\mathfrak{p}$ である。

証明（命題 3.1）

$A \ne 0$ なので $1 \ne 0$ で、$B \ne 0$ です。

(1) $B$ の素イデアルの鎖 $\mathfrak{q}_0 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{q}_r$ をとり、$\mathfrak{p}_i = \mathfrak{q}_i \cap A$ とおきます。各 $\mathfrak{p}_i$ は $A$ の素イデアルで $\mathfrak{p}_0 \subseteq \cdots \subseteq \mathfrak{p}_r$ です。もし $\mathfrak{p}_{i-1} = \mathfrak{p}_i$ なら、比較不能性（定理 4.3［整拡大］）により $\mathfrak{q}_{i-1} = \mathfrak{q}_i$ となり矛盾します。よって $\mathfrak{p}_0 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_r$ は長さ $r$ の鎖で、$\dim B \le \dim A$ です。

逆に $A$ の鎖 $\mathfrak{p}_0 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_r$ をとります。横たわり定理（定理 4.4［整拡大］）により $\mathfrak{q}_0 \cap A = \mathfrak{p}_0$ となる素イデアル $\mathfrak{q}_0$ があり、上昇定理（定理 4.6［整拡大］、$m = 1$、$n = r + 1$ として）により $\mathfrak{q}_0 \subseteq \cdots \subseteq \mathfrak{q}_r$ で $\mathfrak{q}_i \cap A = \mathfrak{p}_i$ となるものがあります。$\mathfrak{p}_i$ が相異なるので $\mathfrak{q}_i$ も相異なり、これは長さ $r$ の鎖です。よって $\dim A \le \dim B$ です。

(2) $\mathfrak{q}$ で終わる $B$ の鎖を (1) の前半のように $A$ に縮めると、$\mathfrak{p}$ で終わる同じ長さの鎖になります。よって $\operatorname{ht}\mathfrak{q} \le \operatorname{ht}\mathfrak{p}$ です。また 命題 2.5［整拡大］ の (1) により $A/\mathfrak{p} \to B/\mathfrak{q}$ は単射で、$B/\mathfrak{q}$ は $A/\mathfrak{p}$ 上整です。$A/\mathfrak{p} \ne 0$ なので (1) を適用して $\dim B/\mathfrak{q} = \dim A/\mathfrak{p}$ を得ます。

(3) $\mathfrak{p}$ で終わる $A$ の鎖 $\mathfrak{p}_0 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_r = \mathfrak{p}$ をとります。降順に並べた $\mathfrak{p}_r \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{p}_0$ と、その最初の項の上にある $\mathfrak{q}$ に下降定理（定理 5.4［整拡大］、$A$ は整閉整域、$B$ は整域）を適用すると、$\mathfrak{q} = \mathfrak{q}_r \supseteq \mathfrak{q}_{r-1} \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{q}_0$ で $\mathfrak{q}_i \cap A = \mathfrak{p}_i$ となる素イデアルが得られます。縮約が相異なるのでこれは長さ $r$ の鎖で、$\operatorname{ht}\mathfrak{q} \ge r$ です。$r$ について上限をとって $\operatorname{ht}\mathfrak{q} \ge \operatorname{ht}\mathfrak{p}$、(2) と合わせて等号です。

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次の例は、(3) の仮定（整閉整域・整域）を外すと (2) の不等号が真になりうることを見せるためのものです。

(2) の不等式は等号とは限りません。たとえば $A = k[x, y]$、$\mathfrak{m} = (x, y)$ とし、$A$ を $a \mapsto (a, a \bmod \mathfrak{m})$ で $B = A \times k$ に埋め込みます。$B$ は $(1, 0)$ と $(0, 1)$ で生成される有限 $A$ 加群なので $A$ 上整です。$B$ の素イデアル $\mathfrak{q} = A \times \{0\}$ は極小素イデアル（$B$ の素イデアルは $\mathfrak{p} \times k$（$\mathfrak{p}$ は $A$ の素イデアル）と $A \times \{0\}$ の形しかなく、前者は $(0, 1)$ を含むので $A \times \{0\}$ に含まれません）で $\operatorname{ht}\mathfrak{q} = 0$ ですが、$\mathfrak{q} \cap A = \mathfrak{m}$ の高さは $2$ です（例 5.4 を参照）。(3) は、整閉整域の上の整域ではこのような「次元の低い成分」が現れないことを言っています。

例 3.2（整拡大と次元の例）

1. $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z}[i]$ は整拡大（$i$ は $x^2 + 1$ の根）なので、$\dim \mathbb{Z}[i] = \dim \mathbb{Z} = 1$ です。一般に代数体の整数環の次元は $1$ です。
2. 体 $k$ 上で $k[x] \subseteq k[x, y]/(y^2 - x^3)$ は $y$ がモニック多項式 $T^2 - x^3$ の根なので整拡大で、尖点つき曲線の座標環の次元は $1$ です。
3. 整性は落とせません。$\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$ では $\dim \mathbb{Z} = 1$、$\dim \mathbb{Q} = 0$ です。$\mathbb{Q}$ は $\mathbb{Z}$ 上整ではありません（$\mathbb{Z}$ は UFD なので整閉で（命題 3.3［整拡大］）、$1/2$ が $\mathbb{Z}$ 上整なら $1/2 \in \mathbb{Z}$ となってしまいます）。

4. Krull の単項イデアル定理

この節の主役は Noether 局所環 $(A, \mathfrak{m})$ で $\mathfrak{m}$ が「小さなイデアルの上で極小」になる状況です。まずそれを Artin 環の言葉で言い換えます。

補題 4.1（𝔪 準素イデアルの判定）✓

$(A, \mathfrak{m})$ を Noether 局所環、$I \subseteq \mathfrak{m}$ をイデアルとする。次は同値である。

1. $\mathfrak{m}$ は $I$ の極小素イデアルである（すなわち $I$ を含む素イデアルは $\mathfrak{m}$ だけである）。
2. $\sqrt{I} = \mathfrak{m}$ である。
3. ある $t \ge 1$ で $\mathfrak{m}^t \subseteq I$ である。
4. $A/I$ は Artin 環である。

さらにこのとき $I$ は $\mathfrak{m}$ 準素イデアルであり、逆に $\mathfrak{m}$ 準素イデアルは 1〜4 を満たす。

証明（補題 4.1）

$A$ の素イデアルはすべて $\mathfrak{m}$ に含まれるので、1 の「極小」と括弧内の言い換えは同じことです。

1 ⇔ 2: 系 2.7［局所化と素イデアルのスペクトル］ により $\sqrt{I}$ は $I$ を含む素イデアル全体の共通部分です。$I$ を含む素イデアルが $\mathfrak{m}$ だけなら $\sqrt{I} = \mathfrak{m}$ です。逆に $\sqrt{I} = \mathfrak{m}$ なら、$I$ を含む素イデアル $\mathfrak{p}$ は $\sqrt{I} = \mathfrak{m}$ を含む（$x^n \in I \subseteq \mathfrak{p}$ なら $x \in \mathfrak{p}$）ので $\mathfrak{p} = \mathfrak{m}$ です。

2 ⇒ 3: 命題 5.2［多項式環と体の拡大］ により $\mathfrak{m} = (a_1, \ldots, a_s)$ と有限生成で、各 $a_i^{n_i} \in I$ となる $n_i$ があります。$t = n_1 + \cdots + n_s$ とすると、$\mathfrak{m}^t$ は $a_1^{e_1} \cdots a_s^{e_s}$（$e_1 + \cdots + e_s = t$）の形の積で生成され、そのどれかの $i$ で $e_i \ge n_i$ なので、すべて $I$ に入ります。

3 ⇒ 1: $I$ を含む素イデアル $\mathfrak{p}$ は $\mathfrak{m}^t$ を含むので、$\mathfrak{m}$ の各元 $x$ について $x^t \in \mathfrak{p}$、$x \in \mathfrak{p}$ です。よって $\mathfrak{p} = \mathfrak{m}$ です。

1 ⇒ 4: 系 4.1［Noether 環と Artin 環］ の (1) により $A/I$ は Noether 環です。補題 2.5［局所化と素イデアルのスペクトル］ により $A/I$ の素イデアルは $I$ を含む素イデアルに対応するので、$\mathfrak{m}/I$ ただ一つで、これは極大イデアルです。定理 6.3［Noether 環と Artin 環］ により $A/I$ は Artin 環です。

4 ⇒ 1: $I \subseteq \mathfrak{m}$ なので $A/I \ne 0$ です。命題 6.1［Noether 環と Artin 環］ の (1) により $A/I$ の素イデアルはすべて極大で、対応定理により $I$ を含む $A$ の素イデアルは $I$ を含む極大イデアル、すなわち $\mathfrak{m}$ だけです。

最後の主張: 2 が成り立てば、命題 4.2［準素分解と随伴素イデアル］ の (3) により $I$ は $\mathfrak{m}$ 準素です。逆に $I$ が $\mathfrak{m}$ 準素なら、同命題の (1) により $\sqrt{I} = \mathfrak{m}$ で、2 が成り立ちます。

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定理 4.2（Krull の単項イデアル定理）✓

$A$ を Noether 環、$x \in A$ とし、$\mathfrak{p}$ を単項イデアル $(x)$ の極小素イデアルとする。このとき $\operatorname{ht}\mathfrak{p} \le 1$ である。

幾何学的には「$1$ 本の方程式 $x = 0$ で切り取った集合の既約成分は、余次元が高々 $1$」ということです。$x$ が単元でなくても、$x$ がある極小素イデアルに入るとき（たとえば $x = 0$ や $x$ が冪零のとき。このとき $x$ は零因子です）は余次元が $0$ になりうるので、主張は「$\le 1$」です。

証明の方針は次のとおりです。$\mathfrak{p}$ の直下にある素イデアル $\mathfrak{q}$ の下には、もう素イデアルが無い（高さ $0$）ことを示します。そのために、$\mathfrak{q}$ の記号的冪の降鎖を、$x$ で割った Artin 環（降鎖が必ず止まる環）の中で止めます。冪が $\mathfrak{q}^{(N)} = \mathfrak{q}^{(N+1)}$ と止まることから、$\mathfrak{q}$ での局所化で極大イデアルの冪が $\mathfrak{n}^N = \mathfrak{n}^{N+1}$ と止まり、そこに素イデアルが 1 つしか残らないと分かります。

証明（定理 4.2）

局所化して局所環に帰着する。 系 4.1［Noether 環と Artin 環］ の (2) と 命題 3.10［局所化と素イデアルのスペクトル］ により、$A_{\mathfrak{p}}$ は極大イデアル $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ をもつ Noether 局所環です。命題 2.3 の (1) と (4) により $\operatorname{ht}\mathfrak{p} = \dim A_{\mathfrak{p}} = \operatorname{ht}(\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}})$ で、補題 2.2 の (3) により $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ は $(x/1)$ の極小素イデアルです。したがって、はじめから $(A, \mathfrak{m})$ が Noether 局所環で $\mathfrak{p} = \mathfrak{m}$ が $(x)$ の極小素イデアルである場合に示せば十分です。

方針。 $\operatorname{ht}\mathfrak{m} \le 1$ を示すには、$\mathfrak{q} \subsetneq \mathfrak{m}$ となる任意の素イデアル $\mathfrak{q}$ について $\operatorname{ht}\mathfrak{q} = 0$、すなわち $\mathfrak{q}$ に真に含まれる素イデアルが無いことを示せば十分です（長さ $2$ の鎖 $\mathfrak{q}_0 \subsetneq \mathfrak{q}_1 \subsetneq \mathfrak{m}$ があれば $\operatorname{ht}\mathfrak{q}_1 \ge 1$ となるからです）。そこで素イデアル $\mathfrak{q} \subsetneq \mathfrak{m}$ を固定します。$\mathfrak{m}$ は $(x)$ を含むただ一つの素イデアルなので、$x \notin \mathfrak{q}$ です。

Artin 環の中で記号的冪の降鎖を止める。 $x \in \mathfrak{m}$ で $\mathfrak{m}$ は $(x)$ の極小素イデアルなので、補題 4.1 により $A/(x)$ は Artin 環です。命題 6.2［準素分解と随伴素イデアル］ の (4) により記号的冪は $\mathfrak{q}^{(1)} \supseteq \mathfrak{q}^{(2)} \supseteq \cdots$ と減少するので、$A/(x)$ のイデアルの降鎖 $(\mathfrak{q}^{(n)} + (x))/(x)$ を得ます。これは止まるので、ある $N$ があって $n \ge N$ なら

$$\mathfrak{q}^{(n)} + (x) = \mathfrak{q}^{(n+1)} + (x)$$

です。

$\mathfrak{q}^{(n)} = \mathfrak{q}^{(n+1)}$ を示す。 $n \ge N$ とし、$y \in \mathfrak{q}^{(n)}$ をとります。上の等式から $y = z + ax$（$z \in \mathfrak{q}^{(n+1)}$、$a \in A$）と書け、$ax = y - z \in \mathfrak{q}^{(n)}$ です。命題 6.2［準素分解と随伴素イデアル］ の (2) により $\mathfrak{q}^{(n)}$ は $\mathfrak{q}$ 準素で、$x \notin \mathfrak{q}$ なので、命題 4.2［準素分解と随伴素イデアル］ の (4)（$M = A$、$Q = \mathfrak{q}^{(n)}$、$s = x$）により $a \in \mathfrak{q}^{(n)}$ です。したがって

$$\mathfrak{q}^{(n)} = \mathfrak{q}^{(n+1)} + x\,\mathfrak{q}^{(n)}$$

です。$\mathfrak{q}^{(n)}$ は Noether 環のイデアルなので有限生成 $A$ 加群で、局所環では $\operatorname{Jac}(A) = \mathfrak{m}$（極大イデアル全体の共通部分）なので $(x) \subseteq \operatorname{Jac}(A)$ です。中山の補題（定理 3.5［加群・完全列・中山の補題］ の (2)、$M = \mathfrak{q}^{(n)}$、$N = \mathfrak{q}^{(n+1)}$、$\mathfrak{a} = (x)$）により $\mathfrak{q}^{(n)} = \mathfrak{q}^{(n+1)}$ です。

$A_{\mathfrak{q}}$ に移る。 命題 6.2［準素分解と随伴素イデアル］ の (4) により $\mathfrak{q}^{(n)}A_{\mathfrak{q}} = \mathfrak{q}^nA_{\mathfrak{q}}$ です。$\mathfrak{n} = \mathfrak{q}A_{\mathfrak{q}}$ とおくと、$\mathfrak{q}^nA_{\mathfrak{q}}$ の元は $(a_1 \cdots a_n)/s = (a_1/1)\cdots(a_{n-1}/1)(a_n/s)$（$a_i \in \mathfrak{q}$）の和なので $\mathfrak{q}^nA_{\mathfrak{q}} = \mathfrak{n}^n$ です。よって $n = N$ として $\mathfrak{n}^N = \mathfrak{n}^{N+1}$ を得ます。$A_{\mathfrak{q}}$ は極大イデアル $\mathfrak{n}$ をもつ Noether 局所環なので、系 6.5［Noether 環と Artin 環］ の (2) ⇒ (4) により $\mathfrak{n}$ は $A_{\mathfrak{q}}$ のただ一つの素イデアルです。命題 2.3 の (1) により $\operatorname{ht}\mathfrak{q} = \dim A_{\mathfrak{q}} = 0$ です。

∎

定理 4.3（一般高さ定理（Krull））✓

$A$ を Noether 環、$I = (x_1, \ldots, x_n)$ を $n$ 個の元で生成される真のイデアルとし、$\mathfrak{p}$ を $I$ の極小素イデアルとする。このとき $\operatorname{ht}\mathfrak{p} \le n$ である。

一般高さ定理は単項イデアル定理を $n$ 個の元に広げたものです。証明の考え方は、$\mathfrak{m}$ の直下の素イデアル $\mathfrak{q}$ をとり、$n$ 個の元のうち 1 個 $x_n$ を使って $\mathfrak{q}$ を残りの $n - 1$ 個の元（を少し変形したもの）の上の極小素イデアルとみなす、というものです。そうすれば帰納法で $\mathfrak{q}$ の高さが $n - 1$ 以下だと分かり、鎖が $\mathfrak{q}$ に 1 段足されて $\mathfrak{m}$ の高さが $n$ 以下になります。

証明（定理 4.3）

$n$ についての帰納法で示します。主張は「すべての Noether 環と、$n$ 個の元で生成されるすべての真のイデアル」についてのものとし、帰納法の仮定もその形で使います。

$n = 0$ なら $I = 0$ で、$\mathfrak{p}$ は $A$ の極小素イデアルなので $\operatorname{ht}\mathfrak{p} = 0$ です。$n \ge 1$ とし、$n - 1$ まで正しいとします。

局所環への帰着。 定理 4.2 の証明の最初の段落と同じく、命題 2.3 の (1)・(4) と 補題 2.2 の (3) により、$(A, \mathfrak{m})$ が Noether 局所環で $\mathfrak{m}$ が $I$ の極小素イデアル、すなわち $I$ を含むただ一つの素イデアルである場合に示せば十分です。

$\mathfrak{m}$ の直下の素イデアルを考える。 長さ $r \ge 1$ の鎖 $\mathfrak{p}_0 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_r = \mathfrak{m}$ を任意にとり、$r \le n$ を示します。$\mathfrak{p}_{r-1} \subseteq \mathfrak{q} \subsetneq \mathfrak{m}$ を満たす素イデアル $\mathfrak{q}$ の集合は空でないので、補題 2.3［Noether 環と Artin 環］ の (1)（$M = A$）により極大元 $\mathfrak{q}$ をもちます。$\mathfrak{q}$ と $\mathfrak{m}$ の間に真に挟まる素イデアルはありません。$\mathfrak{p}_0 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_{r-2} \subsetneq \mathfrak{q}$ は $\mathfrak{q}$ で終わる長さ $r - 1$ の鎖なので、$\operatorname{ht}\mathfrak{q} \le n - 1$ を示せば $r \le n$ が出ます。

$\mathfrak{q}$ を $n - 1$ 個の元の上の極小素イデアルとして捉える。 $\mathfrak{q} \subsetneq \mathfrak{m}$ で、$I$ を含む素イデアルは $\mathfrak{m}$ だけなので、$I \not\subseteq \mathfrak{q}$ です。番号を付け替えて $x_n \notin \mathfrak{q}$ とします。$\mathfrak{q} + (x_n)$ を含む素イデアルは $\mathfrak{q}$ を真に含むので、$\mathfrak{q}$ の取り方から $\mathfrak{m}$ に等しくなります。補題 4.1 により、ある $t \ge 1$ で $\mathfrak{m}^t \subseteq \mathfrak{q} + (x_n)$ です。とくに $i = 1, \ldots, n - 1$ について

$$x_i^t = y_i + a_i x_n \qquad (y_i \in \mathfrak{q},\ a_i \in A)$$

と書けます。$J = (y_1, \ldots, y_{n-1}) \subseteq \mathfrak{q}$ とおきます。

$J + (x_n)$ を含む素イデアル $P$ は、$x_i^t = y_i + a_ix_n \in P$ から $x_i \in P$（$i < n$）、さらに $x_n \in P$ なので $I$ を含み、$P = \mathfrak{m}$ です。剰余環 $\bar A = A/J$ は Noether 局所環で（系 4.1［Noether 環と Artin 環］ の (1)）、補題 2.5［局所化と素イデアルのスペクトル］ により $\bar A$ の素イデアルで $x_n$ の像 $\bar x_n$ を含むものは $\bar{\mathfrak{m}} = \mathfrak{m}/J$ だけです。単項イデアル定理（定理 4.2）により $\operatorname{ht}\bar{\mathfrak{m}} \le 1$ です。

もし $\mathfrak{q}$ が $J$ の極小素イデアルでなければ、$J \subseteq \mathfrak{q}' \subsetneq \mathfrak{q}$ となる素イデアル $\mathfrak{q}'$ があり（補題 2.2 の (1)）、$\bar A$ の中に長さ $2$ の鎖 $\mathfrak{q}'/J \subsetneq \mathfrak{q}/J \subsetneq \mathfrak{m}/J$ ができて $\operatorname{ht}\bar{\mathfrak{m}} \le 1$ に反します。よって $\mathfrak{q}$ は $n - 1$ 個の元で生成されるイデアル $J$ の極小素イデアルで、帰納法の仮定により $\operatorname{ht}\mathfrak{q} \le n - 1$ です。

∎

系 4.4（Noether 環の素イデアルの高さは有限）✓

$A$ を Noether 環とする。

1. 素イデアル $\mathfrak{p}$ が $n$ 個の元で生成されるなら $\operatorname{ht}\mathfrak{p} \le n$ である。とくに $A$ のすべての素イデアルの高さは有限である。
2. $A$ の素イデアルの降鎖 $\mathfrak{p}_1 \supseteq \mathfrak{p}_2 \supseteq \cdots$ はつねに止まる。

証明（系 4.4）

(1) $\mathfrak{p}$ は $\mathfrak{p}$ 自身の極小素イデアルなので、定理 4.3 から $\operatorname{ht}\mathfrak{p} \le n$ です。命題 5.2［多項式環と体の拡大］ により $\mathfrak{p}$ は有限生成なので、高さは有限です。

(2) 降鎖が止まらなければ、等号を除いて狭義の降鎖 $\mathfrak{p}_1 \supsetneq \mathfrak{p}_{i_2} \supsetneq \cdots$ が無限に続き、$\mathfrak{p}_1$ で終わる任意の長さの鎖ができます。これは (1) に反します。

∎

一般高さ定理には逆があります。高さ $n$ の素イデアルは、ちょうど $n$ 個の元で「定義される」（それらが生成するイデアルの極小素イデアルになる）のです。証明は素イデアル回避で元を $1$ つずつ選んでいきます。

命題 4.5（一般高さ定理の逆）✓

$A$ を Noether 環、$\mathfrak{p}$ を高さ $n$ の素イデアルとする。このとき $x_1, \ldots, x_n \in \mathfrak{p}$ で、各 $i = 0, 1, \ldots, n$ について $(x_1, \ldots, x_i)$ の極小素イデアルの高さがすべて $i$ に等しく、$\mathfrak{p}$ が $(x_1, \ldots, x_n)$ の極小素イデアルになるものが存在する。

証明（命題 4.5）

$J_i = (x_1, \ldots, x_i)$（$J_0 = 0$）と書きます。$J_i \subseteq \mathfrak{p}$ なので $J_i \ne A$ です。定理 4.3 により $J_i$ の極小素イデアルの高さは $i$ 以下なので、「すべて $i$ 以上」を示せば「すべて $i$ に等しい」が出ます。

元を順に選ぶ。 $J_0 = 0$ の極小素イデアルは $A$ の極小素イデアルで、高さ $0$ です。$0 \le i < n$ とし、$x_1, \ldots, x_i \in \mathfrak{p}$ を $J_i$ の極小素イデアルの高さがすべて $i$ であるように選んだとします。補題 2.2 の (2) により $J_i$ の極小素イデアルは有限個で、それを $\mathfrak{q}_1, \ldots, \mathfrak{q}_s$ とします。各 $j$ で $\mathfrak{p} \not\subseteq \mathfrak{q}_j$ です（含まれれば $\operatorname{ht}\mathfrak{p} \le \operatorname{ht}\mathfrak{q}_j = i < n$）。素イデアル回避（補題 2.9［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (1)）により $\mathfrak{p} \not\subseteq \mathfrak{q}_1 \cup \cdots \cup \mathfrak{q}_s$ なので、$x_{i+1} \in \mathfrak{p}$ を、どの $\mathfrak{q}_j$ にも属さないように選べます。

選んだ元で高さが 1 上がる。 $\mathfrak{q}$ を $J_{i+1}$ の極小素イデアルとします。$\mathfrak{q} \supseteq J_i$ なので、補題 2.2 の (1) により $\mathfrak{q}$ はある $\mathfrak{q}_j$ を含みます。$x_{i+1} \in \mathfrak{q}$、$x_{i+1} \notin \mathfrak{q}_j$ なので $\mathfrak{q}_j \subsetneq \mathfrak{q}$ で、高さは有限（系 4.4）なので $\operatorname{ht}\mathfrak{q} \ge \operatorname{ht}\mathfrak{q}_j + 1 = i + 1$ です。これで $J_{i+1}$ の極小素イデアルの高さはすべて $i + 1$ になります。

最後に $\mathfrak{p}$ の極小性。 $i = n$ まで選んだあと、$\mathfrak{p} \supseteq J_n$ なので $\mathfrak{p}$ は $J_n$ のある極小素イデアル $\mathfrak{q}$ を含み、$\operatorname{ht}\mathfrak{q} = n = \operatorname{ht}\mathfrak{p}$ です。$\mathfrak{q} \subsetneq \mathfrak{p}$ なら $\operatorname{ht}\mathfrak{p} \ge n + 1$ となるので、$\mathfrak{q} = \mathfrak{p}$ です。

∎

注意 4.6（Noether 性の役割）

単項イデアル定理は Noether 性を外すと成り立ちません。たとえば値群が $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$（辞書式順序）の付値環は次元 $2$ の局所環で、極大イデアルが単項イデアルの上の極小素イデアルになっています（付値環は記事 離散付値環と Dedekind 環 で扱います）。証明の中で Noether 性は、$A/(x)$ が Artin 環になること（降鎖が止まること）、記号的冪が準素であること、中山の補題を使うために $\mathfrak{q}^{(n)}$ が有限生成であることに使われました。

5. Noether 局所環の次元とパラメータ系

一般高さ定理とその逆を局所環の極大イデアルに適用すると、局所環の次元を「$\mathfrak{m}$ を根基にもつイデアルを作るのに必要な元の個数」として捉えられます。

定義 5.1（δ(A) とパラメータ系）↗

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を Noether 局所環とする。

1. $x_1, \ldots, x_n \in \mathfrak{m}$ で $(x_1, \ldots, x_n)$ が $\mathfrak{m}$ 準素イデアル（補題 4.1 の同値な条件を満たすイデアル）となるものが存在するような $n \ge 0$ の最小値を $\delta(A)$ と書く（$n = 0$ のときは $(0)$ が $\mathfrak{m}$ 準素であること、すなわち $A$ が Artin 環であることを意味する）。
2. $d = \dim A$ が有限のとき、$x_1, \ldots, x_d \in \mathfrak{m}$ で $(x_1, \ldots, x_d)$ が $\mathfrak{m}$ 準素となるものを $A$ のパラメータ系という。

$\mathfrak{m}$ 自身は $\mathfrak{m}$ 準素で有限生成なので、$\delta(A)$ は有限の値として定まります。次の定理により $\dim A$ はつねに有限で、パラメータ系はつねに存在します。

定理 5.2（Noether 局所環の次元）✓

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を Noether 局所環とする。このとき

$$\dim A = \delta(A) \le \dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 < \infty$$

である。とくに $A$ のパラメータ系が存在する。

証明（定理 5.2）

$\delta(A) \le \dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$。 $\mathfrak{m}$ は有限生成 $A$ 加群なので（命題 5.2［多項式環と体の拡大］）、系 3.6［加群・完全列・中山の補題］ により $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ は有限次元で、$\mathfrak{m}$ は $e = \dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ 個の元で生成されます。$\mathfrak{m}$ は 補題 4.1 の条件 2 を満たすので $\mathfrak{m}$ 準素で、$\delta(A) \le e$ です。

$\dim A \le \delta(A)$。 $\delta = \delta(A)$ とし、$(x_1, \ldots, x_\delta)$ を $\mathfrak{m}$ 準素イデアルとします。補題 4.1 により $\mathfrak{m}$ はその極小素イデアルなので、一般高さ定理（定理 4.3）により $\operatorname{ht}\mathfrak{m} \le \delta$ です。命題 2.3 の (4) により $\dim A = \operatorname{ht}\mathfrak{m} \le \delta$ です。

$\delta(A) \le \dim A$。 上で示したことから $d = \dim A = \operatorname{ht}\mathfrak{m}$ は有限です。命題 4.5 により $x_1, \ldots, x_d \in \mathfrak{m}$ で $\mathfrak{m}$ が $(x_1, \ldots, x_d)$ の極小素イデアルとなるものがあり、補題 4.1 によりこのイデアルは $\mathfrak{m}$ 準素です。よって $\delta(A) \le d$ で、$x_1, \ldots, x_d$ はパラメータ系です。

∎

不等式 $\dim A \le \dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ の右辺は、$\mathfrak{m}$ の極小生成系の元の個数（埋め込み次元）です。等号が成り立つ局所環が正則局所環で、幾何学的には「非特異な点」に当たります。正則局所環は記事 Cohen–Macaulay 環と正則局所環 で詳しく調べます（定義 6.1［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）。

次の命題は、パラメータ系の一部で割ると次元がちょうどその個数だけ下がることを言っています。Cohen–Macaulay 環の理論で何度も使う形です。

命題 5.3（元で割ったときの次元）✓

$(A, \mathfrak{m})$ を Noether 局所環、$d = \dim A$、$x_1, \ldots, x_i \in \mathfrak{m}$ とし、$\bar A = A/(x_1, \ldots, x_i)$ とする。

1. $\dim \bar A \ge d - i$ である。
2. $\dim \bar A = d - i$ であることと、$x_1, \ldots, x_i$ に $d - i$ 個の元 $x_{i+1}, \ldots, x_d \in \mathfrak{m}$ を付け加えて $A$ のパラメータ系にできることは同値である。

証明（命題 5.3）

$\mathfrak{a} = (x_1, \ldots, x_i) \subseteq \mathfrak{m}$ とおきます。系 4.1［Noether 環と Artin 環］ の (1) と 補題 2.5［局所化と素イデアルのスペクトル］ により、$\bar A$ は極大イデアル $\bar{\mathfrak{m}} = \mathfrak{m}/\mathfrak{a}$ をもつ Noether 局所環です。

準素性の対応。 $y_1, \ldots, y_e \in \mathfrak{m}$ とその像 $\bar y_j \in \bar{\mathfrak{m}}$ について、$(\bar y_1, \ldots, \bar y_e)$ が $\bar{\mathfrak{m}}$ 準素であることと、$(x_1, \ldots, x_i, y_1, \ldots, y_e)$ が $\mathfrak{m}$ 準素であることは同値です。実際、補題 4.1 の条件 3 により前者は「ある $t$ で $\bar{\mathfrak{m}}^t \subseteq (\bar y_1, \ldots, \bar y_e)$」、すなわち対応定理により「$\mathfrak{m}^t \subseteq (y_1, \ldots, y_e) + \mathfrak{a}$」と同じで、これは後者の条件 3 です。

(1) 定理 5.2 により $\dim \bar A = \delta(\bar A) =: e$ で、$(\bar y_1, \ldots, \bar y_e)$ が $\bar{\mathfrak{m}}$ 準素となる $y_j \in \mathfrak{m}$ がとれます。上の対応により $i + e$ 個の元で生成される $\mathfrak{m}$ 準素イデアルができるので、$d = \delta(A) \le i + e$ です。

(2) $\dim \bar A = d - i$ なら、(1) の証明の $x_1, \ldots, x_i, y_1, \ldots, y_{d-i}$ が求めるパラメータ系です。逆に $x_1, \ldots, x_d$ がパラメータ系なら、上の対応により $(\bar x_{i+1}, \ldots, \bar x_d)$ は $\bar{\mathfrak{m}}$ 準素で、$\dim \bar A = \delta(\bar A) \le d - i$ です。(1) と合わせて等号です。

∎

例 5.4（平面の原点での局所環）

$k$ を体、$A = k[x, y]_{(x, y)}$ を素イデアル $(x, y)$ での局所化とし、$\mathfrak{m} = (x, y)A$ とします。

1. $k[x, y]$ には鎖 $(0) \subsetneq (x) \subsetneq (x, y)$ があり（$k[x, y]/(x) \cong k[y]$ は整域）、$(x, y)$ は $2$ 元で生成されるので 系 4.4 から $\operatorname{ht}(x, y) = 2$ です。命題 2.3 の (1) により $\dim A = 2$ です。
2. $x, y$ はパラメータ系です。$x^2, y^3$ もパラメータ系です。$\mathfrak{m}^4$ は $x^ay^b$（$a + b = 4$）で生成され、$a \ge 2$ か $b \ge 3$ のどちらかが成り立つので $\mathfrak{m}^4 \subseteq (x^2, y^3)$ だからです。一方 $x, xy$ はパラメータ系ではありません。$(x, xy) = (x)$ は素イデアル $(x)A \ne \mathfrak{m}$ に含まれます。
3. $\bar A = A/(xy)$ を考えます（$x$ 軸と $y$ 軸の和の、原点での局所環）。命題 5.3 の (1) により $\dim \bar A \ge 1$ です。$\bar A$ では $x(x + y) = x^2 + xy \equiv x^2$、同様に $y(x + y) \equiv y^2$ なので、$\bar{\mathfrak{m}}^2 = (x^2, xy, y^2)\bar A \subseteq (x + y)\bar A$ で、$x + y$ の $1$ 元が $\bar{\mathfrak{m}}$ 準素イデアルを生成します。よって $\dim \bar A = \delta(\bar A) = 1$ で、$x + y$ がパラメータ系です。他方 $xy \in \mathfrak{m}^2$ なので $\bar{\mathfrak{m}}/\bar{\mathfrak{m}}^2 \cong \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ は $x, y$ の像を基底とする $2$ 次元の空間で、$\dim \bar A = 1 < 2 = \dim_k \bar{\mathfrak{m}}/\bar{\mathfrak{m}}^2$ です。原点は $2$ 本の直線の交点で、非特異な点ではありません。

注意 5.5（次元定理への予告）

Noether 局所環 $(A, \mathfrak{m})$ について、長さ $\ell_A(A/\mathfrak{m}^n)$ は $n$ が十分大きいとき $n$ の多項式（Hilbert–Samuel 多項式）になります。その次数を $d(A)$ と書くと、

$$\dim A = \delta(A) = d(A)$$

が成り立ちます（次元定理）。この記事で示したのは前半の等号 $\dim A = \delta(A)$ で、残りの $\delta(A) \ge d(A) \ge \dim A$ は Artin–Rees の補題と随伴次数環を使って記事 次数環と Hilbert–Samuel 多項式 で示します（定理 6.1［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］）。そこから、完備化（完備化と Artin–Rees の補題）で次元が変わらないこと $\dim \widehat{A} = \dim A$ も出ます。

6. 多項式環の次元

体 $k$ 上の $k[x_1, \ldots, x_n]$ の次元が $n$ であることは直観的には当然ですが、証明には一般高さ定理が要ります。ここでは一般に Noether 環 $A$ について $\dim A[x] = \dim A + 1$ を示します。以下、$A$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ について、係数がすべて $\mathfrak{p}$ に入る多項式の全体を $\mathfrak{p}[x]$ と書きます。これは $\mathfrak{p}$ が $A[x]$ で生成するイデアル $\mathfrak{p}A[x]$ に等しくなります。

補題 6.1（多項式環の素イデアルのファイバー）✓

$A$ を環、$\mathfrak{p}$ をその素イデアルとする。

1. $\mathfrak{p}[x]$ と $\mathfrak{p}[x] + (x)$ は $A[x]$ の素イデアルで、$\mathfrak{p}[x] \subsetneq \mathfrak{p}[x] + (x)$、$\mathfrak{p}[x] \cap A = (\mathfrak{p}[x] + (x)) \cap A = \mathfrak{p}$ である。
2. $P_1 \subsetneq P_2$ が $A[x]$ の素イデアルで $P_1 \cap A = P_2 \cap A = \mathfrak{p}$ なら、$P_1 = \mathfrak{p}[x]$ である。
3. $P$ が $A[x]$ の素イデアルで $P \cap A = \mathfrak{p}$、$P \ne \mathfrak{p}[x]$ なら、任意の $f \in P \setminus \mathfrak{p}[x]$ について、$P$ は $\mathfrak{p}[x] + (f)$ を含むただ一つの素イデアル $Q \subseteq P$ である（すなわち $\mathfrak{p}[x] + (f) \subseteq Q \subseteq P$ なる素イデアル $Q$ は $P$ に限る）。

証明（補題 6.1）

$B = A/\mathfrak{p}$ とおき、係数ごとに剰余をとる全射 $\rho\colon A[x] \to B[x]$ を考えます。その核は $\mathfrak{p}[x]$ です。

(1) $B$ は整域なので 定理 6.2［環と体の基礎］ により $B[x]$ は整域で、準同型定理（定理 5.1［イデアルと剰余環］）により $A[x]/\mathfrak{p}[x] \cong B[x]$ なので、命題 6.2［イデアルと剰余環］ により $\mathfrak{p}[x]$ は素イデアルです。同様に $f \mapsto (f \bmod \mathfrak{p})(0)$（定数項の剰余）は $A[x] \to B$ の全射で、核は「定数項が $\mathfrak{p}$ に入る多項式」の全体 $\mathfrak{p}[x] + (x)$ なので、これも素イデアルです。$x \notin \mathfrak{p}[x]$（係数 $1 \notin \mathfrak{p}$）なので包含は真です。定数のうち $\mathfrak{p}[x]$ や $\mathfrak{p}[x] + (x)$ に入るのは $\mathfrak{p}$ の元だけなので、縮約はどちらも $\mathfrak{p}$ です。

(2) $P_1, P_2$ は $\mathfrak{p}$ を含むので $\mathfrak{p}[x] = \mathfrak{p}A[x]$ を含みます。補題 2.5［局所化と素イデアルのスペクトル］ により、像 $\bar P_i = \rho(P_i)$ は $B[x]$ の素イデアルで $\bar P_1 \subsetneq \bar P_2$ です。また $P_i \cap A = \mathfrak{p}$ から $\bar P_i \cap B = 0$ です（定数 $b = a \bmod \mathfrak{p}$ が $\bar P_i$ に入れば $a \in P_i \cap A = \mathfrak{p}$）。

$T = B \setminus \{0\}$、$K = \operatorname{Frac} B$ とします。包含 $B[x] \to K[x]$ は $T$ を単元に写すので、局所化の普遍性（定理 3.4［局所化と素イデアルのスペクトル］）により $T^{-1}(B[x]) \to K[x]$、$g/t \mapsto t^{-1}g$ が定まります。$K[x]$ の元は係数の分母を払って $t^{-1}g$（$g \in B[x]$、$t \in T$）と書けるので全射で、$t^{-1}g = 0$ なら $g = 0$ なので単射です（命題 3.5［局所化と素イデアルのスペクトル］）。よって $T^{-1}(B[x]) \cong K[x]$ です。$\bar P_i \cap T = \varnothing$ なので、定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (4) により $T^{-1}\bar P_1 \subsetneq T^{-1}\bar P_2$ は $K[x]$ の素イデアルで、$T^{-1}\bar P_2 \ne K[x]$ です。

$K[x]$ は PID です（命題 7.2［イデアルと剰余環］ の (2)）。$0$ でない素イデアル $(g)$ の生成元 $g$ は素元なので既約元で（$g = ab$ なら $g \mid a$ としてよく、$a = gc$ から $g(1 - cb) = 0$、整域なので $cb = 1$ で $b$ は単元）、補題 2.4［多項式環と体の拡大］ により $(g)$ は極大イデアルです。$T^{-1}\bar P_1$ は真のイデアル $T^{-1}\bar P_2$ に真に含まれるので極大ではなく、したがって $T^{-1}\bar P_1 = 0$ です。同定理の (4) の全単射性から $\bar P_1 = 0$、すなわち $P_1 = \mathfrak{p}[x]$ です。

(3) $Q$ を $\mathfrak{p}[x] + (f) \subseteq Q \subseteq P$ を満たす素イデアルとします。$\mathfrak{p} \subseteq Q \cap A \subseteq P \cap A = \mathfrak{p}$ なので $Q \cap A = \mathfrak{p}$ です。$Q \subsetneq P$ なら (2) により $Q = \mathfrak{p}[x]$ ですが、$f \in Q \setminus \mathfrak{p}[x]$ に反します。よって $Q = P$ です。

∎

(2) は「多項式環の素イデアルのうち同じ $\mathfrak{p}$ の上にあるものは、鎖の長さが高々 $1$」ということです。幾何学的には、$\operatorname{Spec} A[x] \to \operatorname{Spec} A$ のファイバーが直線 $\operatorname{Spec} \kappa[x]$（$\kappa$ は $\mathfrak{p}$ の剰余体）で、直線の次元が $1$ であることに当たります。

定理 6.2（多項式環の次元）✓

1. 任意の環 $A \ne 0$ について $\dim A[x] \ge \dim A + 1$ である。
2. $A$ が Noether 環なら、$A$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ について $\operatorname{ht}\mathfrak{p}[x] = \operatorname{ht}\mathfrak{p}$ であり、$P \cap A = \mathfrak{p}$、$P \ne \mathfrak{p}[x]$ を満たす $A[x]$ の素イデアル $P$ について $\operatorname{ht} P = \operatorname{ht}\mathfrak{p} + 1$ である。
3. $A \ne 0$ が Noether 環なら $\dim A[x] = \dim A + 1$ である（$\dim A = \infty$ のときは両辺とも $\infty$）。

証明（定理 6.2）

(1) $A$ の鎖 $\mathfrak{p}_0 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_r$ をとります。補題 6.1 の (1) により

$$\mathfrak{p}_0[x] \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_r[x] \subsetneq \mathfrak{p}_r[x] + (x)$$

は $A[x]$ の素イデアルの列です。$\mathfrak{p}_i[x] \cap A = \mathfrak{p}_i$ が相異なるので前半の包含は真で、これは長さ $r + 1$ の鎖です。

(2) $\operatorname{ht}\mathfrak{p}[x] \ge \operatorname{ht}\mathfrak{p}$。 (1) と同じく、$\mathfrak{p}$ で終わる長さ $r$ の鎖から $\mathfrak{p}[x]$ で終わる長さ $r$ の鎖が得られます。

上からの評価。 系 4.4 により $n = \operatorname{ht}\mathfrak{p}$ は有限で、命題 4.5 により $\mathfrak{p}$ は $(a_1, \ldots, a_n)$（$a_i \in \mathfrak{p}$）の極小素イデアルです。$A[x]$ は Noether 環です（系 4.1［Noether 環と Artin 環］ の (3)）。

$P = \mathfrak{p}[x]$ の場合: $Q$ を $(a_1, \ldots, a_n)A[x] \subseteq Q \subseteq \mathfrak{p}[x]$ を満たす素イデアルとすると、$(a_1, \ldots, a_n) \subseteq Q \cap A \subseteq \mathfrak{p}$ で $Q \cap A$ は素イデアルなので、$\mathfrak{p}$ の極小性から $Q \cap A = \mathfrak{p}$、よって $Q \supseteq \mathfrak{p}[x]$、$Q = \mathfrak{p}[x]$ です。したがって $\mathfrak{p}[x]$ は $(a_1, \ldots, a_n)A[x]$ の極小素イデアルで、定理 4.3 により $\operatorname{ht}\mathfrak{p}[x] \le n$ です。

$P \ne \mathfrak{p}[x]$ の場合: $f \in P \setminus \mathfrak{p}[x]$ をとり、$Q$ を $(a_1, \ldots, a_n, f) \subseteq Q \subseteq P$ を満たす素イデアルとします。上と同じ理由で $Q \cap A = \mathfrak{p}$、$Q \supseteq \mathfrak{p}[x] + (f)$ なので、補題 6.1 の (3) により $Q = P$ です。よって $P$ は $n + 1$ 個の元で生成されるイデアルの極小素イデアルで、定理 4.3 により $\operatorname{ht} P \le n + 1$ です。逆に、$P \supseteq \mathfrak{p}A[x] = \mathfrak{p}[x]$ かつ $P \ne \mathfrak{p}[x]$ なので、$\mathfrak{p}[x]$ で終わる長さ $n$ の鎖に $P$ を付け足して $\operatorname{ht} P \ge n + 1$ です。

(3) (2) により $A[x]$ の任意の素イデアル $P$ について、$\mathfrak{p} = P \cap A$ とおけば $\operatorname{ht} P \le \operatorname{ht}\mathfrak{p} + 1 \le \dim A + 1$ です。命題 2.3 の (4) により $\dim A[x] = \sup_P \operatorname{ht} P \le \dim A + 1$ で、(1) と合わせて等号です。

∎

系 6.3（多変数多項式環の次元）✓

$A \ne 0$ を Noether 環とすると、$\dim A[x_1, \ldots, x_n] = \dim A + n$ である。とくに体 $k$ について $\dim k[x_1, \ldots, x_n] = n$、また $\dim \mathbb{Z}[x_1, \ldots, x_n] = n + 1$ である。

証明（系 6.3）

$A[x_1, \ldots, x_n] = A[x_1, \ldots, x_{n-1}][x_n]$ で、$A[x_1, \ldots, x_{n-1}]$ は Noether 環です（系 4.1［Noether 環と Artin 環］ の (3)）。定理 6.2 の (3) を $n$ 回使えば主張を得ます。体のイデアルは $(0)$ と全体だけなので、体は Noether 環で、素イデアルは $(0)$ だけ、次元は $0$ です。$\mathbb{Z}$ は PID なので（命題 7.2［イデアルと剰余環］ の (1)）すべてのイデアルが有限生成で Noether 環です（命題 5.2［多項式環と体の拡大］）。$\mathbb{Z}$ の $0$ でない素イデアルは素数 $p$ で $(p)$ と書け、$p$ は既約元なので 補題 2.4［多項式環と体の拡大］ により $(p)$ は極大イデアルです。よって素イデアルの鎖は $(0) \subsetneq (p)$ が最長で、$\dim \mathbb{Z} = 1$ です。

∎

例 6.4（ℤ[x] の素イデアル）

$\dim \mathbb{Z}[x] = 2$ です。定理 6.2 の (2) から、$\mathbb{Z}[x]$ の素イデアルは次のように分類できます（局所化と素イデアルのスペクトル の $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]$ の図も参照してください）。

• $(0)$（高さ $0$）と、$P \cap \mathbb{Z} = 0$、$P \ne 0$ の素イデアル（高さ $1$）。後者は $\mathbb{Q}[x]$ の既約多項式に対応し、たとえば $(x^2 + 1)$ です。
• 素数 $p$ について $(p) = p\mathbb{Z}[x]$（高さ $1$、「$p$ 上のファイバー全体」）と、$P \cap \mathbb{Z} = (p)$、$P \ne (p)$ の素イデアル（高さ $2$）。後者は $\mathbb{F}_p[x]$ の既約多項式 $\bar f$ の持ち上げ $f$ について $(p, f)$ の形で、極大イデアルです。

鎖 $(0) \subsetneq (p) \subsetneq (p, x)$ や $(0) \subsetneq (x^2 + 1) \subsetneq (5, x - 2)$ が長さ $2$ の鎖の例です（$(x - 2)(x + 2) = x^2 + 1 - 5$ なので $x^2 + 1 \in (5, x - 2)$）。

注意 6.5（Noether でない環の多項式環）

Noether 性を外すと $\dim A[x] = \dim A + 1$ は成り立たず、一般には $\dim A + 1 \le \dim A[x] \le 2\dim A + 1$ しか言えません（Seidenberg）。上の証明では、$\mathfrak{p}$ が「$\operatorname{ht}\mathfrak{p}$ 個の元の上の極小素イデアル」であること（命題 4.5）を使って、ファイバー方向の $1$ 次元が $A$ 方向の次元に「足されるだけ」であることを示しました。なお、$A \to A[x]$ は自由加群なので平坦で、平坦拡大の下降定理（定理 5.6［整拡大］）からも、$P$ に含まれる $A[x]$ の素イデアルの鎖を $\mathfrak{p}$ の下の鎖から作れることがわかります。

7. 体上有限生成代数の次元と鎖状性

この節では $k$ を体とします。Noether の正規化定理と整拡大の次元を組み合わせると、体上有限生成代数の次元が計算できます。

定理 7.1（次元と超越次数）✓

$A \ne 0$ を有限生成 $k$ 代数とする。

1. $y_1, \ldots, y_d \in A$ が $k$ 上代数的に独立（代入 $k[Y_1, \ldots, Y_d] \to A$ が単射）で、$A$ が $k[y_1, \ldots, y_d]$ 上有限なら、$\dim A = d$ である。このような $y_1, \ldots, y_d$ は存在し、とくに $\dim A < \infty$ である。
2. $A$ が整域なら $\dim A = \operatorname{trdeg}_k \operatorname{Frac} A$ である。

証明（定理 7.1）

(1) $k[y_1, \ldots, y_d]$ は多項式環 $k[Y_1, \ldots, Y_d]$ と同型なので、系 6.3 によりその次元は $d$ です。$A$ は有限生成 $k[y_1, \ldots, y_d]$ 加群なので、各 $b \in A$ について部分環 $k[y_1, \ldots, y_d][b]$ は $A$ に含まれ、定理 2.3［整拡大］ の 3 ⇒ 1 により $b$ は整です。よって $k[y_1, \ldots, y_d] \subseteq A$ は整拡大で、命題 3.1 の (1) により $\dim A = d$ です。このような $y_i$ の存在は Noether の正規化定理（定理 3.1［Noether の正規化と Hilbert の零点定理］ の (1)）です。

(2) 定理 3.1［Noether の正規化と Hilbert の零点定理］ の (2) により、(1) の $d$ は $\operatorname{trdeg}_k \operatorname{Frac} A$ に等しくとれます。

∎

(1) から、正規化定理の $d$ は正規化の取り方によらず $\dim A$ に等しいことがわかります。次に、高さ $1$ の素イデアルで割ると次元がちょうど $1$ 下がることを示します。ここで多項式環が UFD であること、したがって整閉であることが効きます。

補題 7.2（高さ 1 の素イデアルによる剰余）✓

$A$ を有限生成 $k$ 代数である整域、$d = \dim A$ とし、$P$ を高さ $1$ の素イデアルとする。このとき $\dim A/P = d - 1$ である。

証明（補題 7.2）

多項式環の高さ 1 の素イデアルは単項。 定理 7.1 の (1) により、$A$ は代数的に独立な $y_1, \ldots, y_d$ による $B = k[y_1, \ldots, y_d]$ 上有限、したがって整です。$B$ は UFD（定理 3.5［多項式環と体の拡大］）なので整閉整域で（命題 3.3［整拡大］）、$A$ は整域なので、命題 3.1 の (3) により $\mathfrak{p} = P \cap B$ の高さは $\operatorname{ht} P = 1$ です。$\mathfrak{p} \ne 0$ なので $0$ でない元 $g \in \mathfrak{p}$ があり、$g$ は単元ではないので既約元の積に分解します。$\mathfrak{p}$ は素イデアルなので、ある既約因子 $f$ が $\mathfrak{p}$ に入ります。UFD の既約元は素元なので（補題 2.3［多項式環と体の拡大］）$(f)$ は $0$ でない素イデアルで、$(0) \subsetneq (f) \subseteq \mathfrak{p}$ です。$(f) \ne \mathfrak{p}$ なら長さ $2$ の鎖 $(0) \subsetneq (f) \subsetneq \mathfrak{p}$ ができて $\operatorname{ht}\mathfrak{p} = 1$ に反するので、$\mathfrak{p} = (f)$ です。

$\dim B/(f) = d - 1$。 $f$ は $0$ でも単元でもないので、定理 6.2［環と体の基礎］ の (3) により定数ではありません。番号を付け替えて、$f$ は $y_d$ について次数 $e \ge 1$ をもつとし、$R = k[y_1, \ldots, y_{d-1}]$ として

$$f = c_e y_d^e + c_{e-1} y_d^{e-1} + \cdots + c_0 \qquad (c_i \in R,\ c_e \ne 0)$$

と書きます。剰余環 $\bar B = B/(f)$ は整域で、$\bar y_i$ を $y_i$ の像、$L = \operatorname{Frac}\bar B$ とします。

• $\bar y_1, \ldots, \bar y_{d-1}$ は $k$ 上代数的に独立です。実際、$0 \ne h \in R$ で $h(\bar y_1, \ldots, \bar y_{d-1}) = 0$ なら $h = fq$（$q \in B$、$q \ne 0$）ですが、$B = R[y_d]$ で次数を比べると（定理 6.2［環と体の基礎］ の (1)）左辺の $y_d$ についての次数は $0$、右辺は $e + \deg q \ge 1$ で矛盾します。
• とくに $c_e(\bar y_1, \ldots, \bar y_{d-1}) \ne 0$ です。$f(\bar y) = 0$ なので、$\bar y_d$ は $M = k(\bar y_1, \ldots, \bar y_{d-1})$ 係数の $0$ でない多項式 $\sum_i c_i(\bar y_1, \ldots, \bar y_{d-1}) T^i$ の根で、$M$ 上代数的です。

$L$ は $M$ に $\bar y_d$ を添加した体で、補題 2.2［Noether の正規化と Hilbert の零点定理］ の (1) により $L = M[\bar y_d]$ は $M$ 上有限次、したがって $M$ 上代数的です（有限次元なので $z \in L$ の冪 $1, z, z^2, \ldots$ は $M$ 上一次従属になります）。$\{\bar y_1, \ldots, \bar y_{d-1}\}$ は $M/k$ の超越基底なので、定理 2.4［Noether の正規化と Hilbert の零点定理］ の (4) により $L/k$ の超越基底でもあり、(3) と 定義 2.5［Noether の正規化と Hilbert の零点定理］ により $\operatorname{trdeg}_k L = d - 1$ です。$\bar B$ は有限生成 $k$ 代数の整域なので、定理 7.1 の (2) により $\dim B/(f) = d - 1$ です。

$A/P$ に戻る。 命題 3.1 の (2) により $\dim A/P = \dim B/\mathfrak{p} = \dim B/(f) = d - 1$ です。

∎

定義 7.3（飽和鎖・鎖状環）↗

$A$ を環とする。

1. 素イデアルの鎖 $\mathfrak{p}_0 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_r$ が飽和であるとは、各 $i$ について $\mathfrak{p}_{i-1} \subsetneq \mathfrak{q} \subsetneq \mathfrak{p}_i$ となる素イデアル $\mathfrak{q}$ が存在しないことをいう。飽和鎖で $\mathfrak{p}_0$ が極小素イデアル、$\mathfrak{p}_r$ が極大イデアルであるものを極大鎖という。
2. $A$ が鎖状環であるとは、$\mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{p}'$ を満たす任意の素イデアルについて、$\mathfrak{p}$ から $\mathfrak{p}'$ への飽和鎖（$\mathfrak{p}_0 = \mathfrak{p}$、$\mathfrak{p}_r = \mathfrak{p}'$ となる飽和鎖）の長さがすべて有限で、互いに等しいことをいう。

定理 7.4（アフィン整域の鎖状性）✓

$A$ を有限生成 $k$ 代数である整域、$d = \dim A$ とする。

1. $A$ の極大鎖の長さはすべて $d$ に等しい。
2. $A$ の任意の素イデアル $\mathfrak{p}$ について $\operatorname{ht}\mathfrak{p} + \dim A/\mathfrak{p} = d$ である。とくに $A$ のすべての極大イデアルの高さは $d$ である。
3. $A$ は鎖状環であり、素イデアル $\mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{p}'$ の間の飽和鎖の長さは $\operatorname{ht}\mathfrak{p}' - \operatorname{ht}\mathfrak{p}$ に等しい。

証明（定理 7.4）

(1) $d$ についての帰納法で示します（$d < \infty$ は 定理 7.1）。$A$ は整域なので、極小素イデアルは $(0)$ だけです。極大鎖 $(0) = P_0 \subsetneq P_1 \subsetneq \cdots \subsetneq P_r$ をとります。

$r = 0$ なら $(0)$ が極大イデアルで $A$ は体なので、素イデアルは $(0)$ だけで $d = 0 = r$ です。逆に $d = 0$ なら長さ $1$ の鎖が無いので $r = 0$ です。

$r \ge 1$、$d \ge 1$ とします。$P_1$ の高さは $1$ です。実際 $(0) \subsetneq P_1$ から $\operatorname{ht} P_1 \ge 1$ で、$P_1$ で終わる長さ $2$ の鎖 $Q_0 \subsetneq Q_1 \subsetneq P_1$ があれば $(0) \subsetneq Q_1 \subsetneq P_1$ となり、鎖の飽和性に反します。補題 7.2 により $\dim A/P_1 = d - 1$ です。$A/P_1$ は有限生成 $k$ 代数の整域で、補題 2.5［局所化と素イデアルのスペクトル］ により $P_1/P_1 \subsetneq P_2/P_1 \subsetneq \cdots \subsetneq P_r/P_1$ はその極大鎖です（素イデアルの包含と極大性が対応で保たれるため）。帰納法の仮定により $r - 1 = d - 1$、すなわち $r = d$ です。

(2) $h = \operatorname{ht}\mathfrak{p}$、$c = \dim A/\mathfrak{p}$ はどちらも $d$ 以下で有限です（命題 2.3 の (3)）。$\mathfrak{p}$ で終わる長さ $h$ の鎖 $C_1$ をとると、$C_1$ は $(0)$ から始まり（そうでなければ先頭に $(0)$ を足して長さ $h + 1$ の鎖ができる）、飽和です（そうでなければ間に素イデアルを挿入して長くできる）。同様に、$\mathfrak{p}$ から始まる長さ $c$ の鎖 $C_2$（命題 2.3 の (2)）は極大イデアルで終わり（そうでなければ 定理 6.5［選択公理と Zorn の補題］ で極大イデアルを付け足せる）、飽和です。$C_1$ と $C_2$ をつないだ鎖は長さ $h + c$ の極大鎖なので、(1) により $h + c = d$ です。$\mathfrak{p}$ が極大なら $\dim A/\mathfrak{p} = 0$ なので $\operatorname{ht}\mathfrak{p} = d$ です。

(3) $\mathfrak{p} = \mathfrak{p}_0 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_s = \mathfrak{p}'$ を飽和鎖とします。(2) の証明と同じく、$(0)$ から $\mathfrak{p}$ への長さ $\operatorname{ht}\mathfrak{p}$ の飽和鎖と、$\mathfrak{p}'$ から極大イデアルへの長さ $\dim A/\mathfrak{p}'$ の飽和鎖をとってつなぐと、長さ $\operatorname{ht}\mathfrak{p} + s + \dim A/\mathfrak{p}'$ の極大鎖ができます。(1) と (2) により

$$s = d - \operatorname{ht}\mathfrak{p} - \dim A/\mathfrak{p}' = \operatorname{ht}\mathfrak{p}' - \operatorname{ht}\mathfrak{p}$$

で、これは飽和鎖の取り方によりません。

∎

系 7.5（体上有限生成代数は鎖状）✓

$A \ne 0$ を有限生成 $k$ 代数とする。

1. $A$ は鎖状環である。
2. $\dim A = \max\{\operatorname{trdeg}_k \operatorname{Frac}(A/\mathfrak{q}) : \mathfrak{q} \text{ は } A \text{ の極小素イデアル}\}$ である。

証明（系 7.5）

(1) $\mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{p}'$ を素イデアルとします。補題 2.5［局所化と素イデアルのスペクトル］ により、$A$ の $\mathfrak{p}$ から $\mathfrak{p}'$ への飽和鎖は、$A/\mathfrak{p}$ の $(0)$ から $\mathfrak{p}'/\mathfrak{p}$ への飽和鎖と長さを保って対応します。$A/\mathfrak{p}$ は有限生成 $k$ 代数の整域なので、定理 7.4 の (3) によりその長さはすべて $\operatorname{ht}(\mathfrak{p}'/\mathfrak{p})$ に等しくなります。

(2) $A$ は Noether 環なので（系 4.1［Noether 環と Artin 環］ の (3)、体 $k$ は Noether 環）、補題 2.2 の (2)（$I = 0$）により $A$ の極小素イデアルは有限個です。命題 2.3 の (4) により $\dim A$ は $\dim A/\mathfrak{q}$ の最大値で、各 $A/\mathfrak{q}$ は有限生成 $k$ 代数の整域なので 定理 7.1 の (2) により $\dim A/\mathfrak{q} = \operatorname{trdeg}_k \operatorname{Frac}(A/\mathfrak{q})$ です。

∎

整域という仮定を外すと、(2) の等式 $\operatorname{ht}\mathfrak{p} + \dim A/\mathfrak{p} = \dim A$ は成り立たなくなります。次元の違う既約成分があるからです。

例 7.6（平面と直線の和）

$A = k[x, y, z]/(xy, xz)$ とします。$(xy, xz) = (x) \cap (y, z)$ で、幾何学的には平面 $x = 0$ と直線 $y = z = 0$（$x$ 軸）の和です。$A$ の極小素イデアルは $(x)$ と $(y, z)$ の像で、$A/(x) \cong k[y, z]$、$A/(y, z) \cong k[x]$ なので、系 7.5 の (2) により $\dim A = \max(2, 1) = 2$ です。

• 直線上の点 $(1, 0, 0)$ に対応する極大イデアル $\mathfrak{m}_1 = (x - 1, y, z)$ の高さは $1$ です。$\mathfrak{m}_1$ は $(x)$ を含まないので、$\mathfrak{m}_1$ に含まれる素イデアルは $(y, z)$ を含み、$k[x]$ の中の鎖に対応するからです。
• 平面上の点 $(0, 1, 0)$ に対応する $\mathfrak{m}_2 = (x, y - 1, z)$ の高さは $2$ です（$(x) \subsetneq (x, z) \subsetneq \mathfrak{m}_2$）。

どちらも $\dim A/\mathfrak{m}_i = 0$ なので、$\operatorname{ht}\mathfrak{m}_1 + \dim A/\mathfrak{m}_1 = 1 \ne 2 = \dim A$ です。それでも 系 7.5 の (1) により $A$ は鎖状です。鎖状性は「2 つの素イデアルの間」の性質で、成分の次元の違いとは別の問題です。

例 7.7（超曲面の次元）

$f \in k[x_1, \ldots, x_n]$ を定数でない多項式とし、$A = k[x_1, \ldots, x_n]/(f)$ とします。$(f)$ の極小素イデアル $\mathfrak{p}$ について、単項イデアル定理（定理 4.2）により $\operatorname{ht}\mathfrak{p} \le 1$ で、$\mathfrak{p} \ne 0$（$f \ne 0$）なので $\operatorname{ht}\mathfrak{p} = 1$ です。定理 7.4 の (2) により $\dim k[x_1, \ldots, x_n]/\mathfrak{p} = n - 1$ で、命題 2.3 の (4) と対応定理により $\dim A = n - 1$ です。すなわち超曲面のすべての既約成分は次元 $n - 1$ です。たとえば $k[x, y, z]/(xy - z^2)$（2 次錐）の次元は $2$ です。

注意 7.8（鎖状でない Noether 環と無限次元の Noether 環）

Noether 局所環の次元は有限でした（定理 5.2）が、局所でない Noether 環には次元が無限のものがあります。また、Noether 環は鎖状とは限りません。どちらも永田雅宜による例が知られています（永田『Local Rings』の Appendix）。構成と検証が長くなるので、この記事では扱いません。体上有限生成代数のほか、Cohen–Macaulay 環とその上の有限生成代数も鎖状であることを、記事 Cohen–Macaulay 環と正則局所環 で示します（定理 4.2［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］、系 4.4［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）。

8. 演習

演習 8.1標準

$(A, \mathfrak{m})$ を Noether 局所環、$x \in \mathfrak{m}$ を $A$ のどの極小素イデアルにも属さない元とする（たとえば $x$ が零因子でないとき）。$\dim A/(x) = \dim A - 1$ を示せ。

解答

$d = \dim A$ とします（定理 5.2 により有限）。命題 5.3 の (1) により $\dim A/(x) \ge d - 1$ です。

逆向きを示します。$A/(x)$ の素イデアルの鎖は、$x$ を含む $A$ の素イデアルの鎖 $P_0 \subsetneq \cdots \subsetneq P_r$ と対応します（補題 2.5［局所化と素イデアルのスペクトル］）。$P_0$ は 命題 4.7［局所化と素イデアルのスペクトル］ によりある極小素イデアル $\mathfrak{q}$ を含みますが、$x \in P_0$、$x \notin \mathfrak{q}$ なので $\mathfrak{q} \subsetneq P_0$ です。よって $\mathfrak{q} \subsetneq P_0 \subsetneq \cdots \subsetneq P_r$ は $A$ の長さ $r + 1$ の鎖で、$r + 1 \le d$ です。したがって $\dim A/(x) \le d - 1$ です。

零因子でない $x$ がどの極小素イデアルにも属さないのは、系 3.4［準素分解と随伴素イデアル］ により極小素イデアルが $\operatorname{Ass}(A)$ に属し、その元はすべて零因子だからです（定理 2.2［準素分解と随伴素イデアル］ の (3)）。

この結果を繰り返すと、零因子でない元を次々に選べる局所環（記事 Tor・Ext と深さ で扱う正則列をもつ環）では、それらの元がパラメータ系の一部になることがわかります（命題 5.3 の (2)）。

演習 8.2標準

$A$ を Noether 整域とする。$A$ が UFD であることと、$A$ の高さ $1$ の素イデアルがすべて単項イデアルであることは同値であることを示せ。

解答

既約分解の存在。 $0$ でも単元でもない元で既約元の積に書けないものがあるとし、そのような元 $a$ が生成する単項イデアル $(a)$ の全体を考えます。$A$ は Noether 環なので、補題 2.3［Noether 環と Artin 環］ の (1) により極大元 $(a)$ があります。$a$ は既約でないので $a = bc$（$b, c$ は単元でない）と書け、$c$ が単元でないので $(a) \subsetneq (b)$（$b = ad$ なら $a = adc$、$dc = 1$ となってしまう）、同様に $(a) \subsetneq (c)$ です。極大性から $b, c$ は既約元の積に書け、$a = bc$ も書けて矛盾です。よって $A$ では $0$ でも単元でもない元はすべて既約元の積に書けます。

⇒。 $\mathfrak{p}$ を高さ $1$ の素イデアルとします。補題 7.2 の証明の最初の段落と同じ議論（$\mathfrak{p}$ の $0$ でない元の既約因子 $f$ をとり、補題 2.3［多項式環と体の拡大］ で $(f)$ が素イデアルであることを使う）により $\mathfrak{p} = (f)$ です。

⇐。 上の既約分解の存在と 補題 2.3［多項式環と体の拡大］ により、既約元 $f$ がすべて素元であることを示せば十分です。$\mathfrak{p}$ を $(f)$ の極小素イデアルとします（補題 2.2 の (1)）。単項イデアル定理（定理 4.2）により $\operatorname{ht}\mathfrak{p} \le 1$ で、$\mathfrak{p} \ni f \ne 0$ かつ $A$ は整域なので $(0) \subsetneq \mathfrak{p}$、$\operatorname{ht}\mathfrak{p} = 1$ です。仮定により $\mathfrak{p} = (g)$ と書け、$f = gh$ です。$g$ は単元でない（$\mathfrak{p} \ne A$）ので、$f$ の既約性から $h$ は単元で、$(f) = (g) = \mathfrak{p}$ は素イデアル、すなわち $f$ は素元です。

演習 8.3標準

$p$ を素数、$A = \mathbb{Z}_{(p)}$ を $\mathbb{Z}$ の素イデアル $(p)$ での局所化とし、$R = A[x]$ とする。

1. $\dim R = 2$ を示せ。
2. $(px - 1)$ は $R$ の高さ $1$ の極大イデアルであり、$(p, x)$ は高さ $2$ の極大イデアルであることを示せ。

とくに Noether 整域 $R$ の極大イデアル $\mathfrak{m}$ について $\operatorname{ht}\mathfrak{m} + \dim R/\mathfrak{m} = \dim R$ は成り立つとは限らない（定理 7.4 の (2) は体上有限生成でない整域には一般化できない）。

解答

(1) $A$ は Noether 環 $\mathbb{Z}$ の局所化なので Noether 環です（系 4.1［Noether 環と Artin 環］ の (2)）。命題 2.3 の (1) により $\dim A = \operatorname{ht}(p) = 1$（$\mathbb{Z}$ の中の鎖 $(0) \subsetneq (p)$ が最長）です。定理 6.2 の (3) により $\dim R = 2$ です。

(2) $(px - 1)$ は極大。 $\varphi\colon R \to \mathbb{Q}$、$x \mapsto 1/p$ を考えます。$\mathbb{Q}$ の元は $a/(p^m u)$（$a \in \mathbb{Z}$、$u$ は $p$ と素な整数）と書け、$a/u \in A$ なので $\varphi((a/u)x^m)$ に等しく、$\varphi$ は全射です。核が $(px - 1)$ であることを示します。$g = \sum_{i=0}^{m} g_i x^i \in \ker\varphi$ とし、$h_0 = -g_0$、$h_i = p h_{i-1} - g_i$（$1 \le i \le m$）と定めると、$h_i \in A$ で、$h(x) = \sum_{i=0}^{m-1} h_i x^i$ について $(px - 1)h(x)$ の $x^i$ の係数は $i < m$ では $g_i$、$x^m$ の係数は $p h_{m-1} = h_m + g_m$ です。$g - (px - 1)h = g_m x^m - (h_m + g_m)x^m = -h_m x^m$ と書け、$x = 1/p$ を代入して $-h_m p^{-m} = 0$、すなわち $h_m = 0$ です。よって $g = (px - 1)h$ です。準同型定理により $R/(px - 1) \cong \mathbb{Q}$ は体で、$(px - 1)$ は極大イデアルです。

その高さは $1$。 $(px - 1)$ は自分自身の極小素イデアルなので、単項イデアル定理（定理 4.2）により高さは $1$ 以下で、$0 \ne px - 1$ かつ $R$ は整域なので $(0) \subsetneq (px - 1)$、高さは $1$ です。

$(p, x)$ の高さは $2$。 $R/(p, x) \cong A/pA \cong \mathbb{F}_p$ は体なので $(p, x)$ は極大です。$R/(x) \cong A$ は整域なので $(x)$ は素イデアルで、$p \notin (x)$ なので $(0) \subsetneq (x) \subsetneq (p, x)$ です。よって高さは $2$ 以上で、(1) により $2$ です。

どちらの極大イデアルでも $\dim R/\mathfrak{m} = 0$ なので、$(px - 1)$ では $\operatorname{ht}\mathfrak{m} + \dim R/\mathfrak{m} = 1 \ne 2$ です。幾何学的には、$\operatorname{Spec} A$ は閉点 $(p)$ と生成点 $(0)$ の 2 点からなり、$\operatorname{Spec} R$ はその上の直線です。曲線 $px = 1$ は閉点 $(p)$ の上のファイバーと交わらず、生成点の上のファイバー（$\mathbb{Q}$ 上の直線）の中の 1 点 $x = 1/p$ になっています。生成点の上の点なのに閉点になっているため、余次元が $1$ しかありません。

参考文献

• M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969 — Chapter 11（次元論）。
• H. Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, 1986 — §5（次元）、§13（局所環の次元と単項イデアル定理）、§15（拡大環の次元）。
• 松村英之『可換環論』共立出版、1980 — 上の英訳の原著。
• D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 150, Springer, 1995 — Chapter 8〜10（次元論の基礎、単項イデアル定理とパラメータ系）、Chapter 13（体上有限生成代数の次元と鎖状性）。
• M. Nagata, Local Rings, Interscience, 1962 — Appendix（鎖状でない Noether 環と無限次元の Noether 環の例）。
• W. Krull, “Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen”, Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften (1928)。