Noether 環の素イデアルの高さは有限

系 4.4（「Krull 次元と単項イデアル定理」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を Noether 環とする。

素イデアル $\mathfrak{p}$ が $n$ 個の元で生成されるなら $\operatorname{ht}\mathfrak{p} \le n$ である。とくに $A$ のすべての素イデアルの高さは有限である。
$A$ の素イデアルの降鎖 $\mathfrak{p}_1 \supseteq \mathfrak{p}_2 \supseteq \cdots$ はつねに止まる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 69 件、定義なども含めて 81 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

一般高さ定理（Krull）✓定理 4.3・Krull 次元と単項イデアル定理
- Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  - 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトル
    局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
    局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
  - イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
  - 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
  - 記号的冪の性質✓命題 6.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
  - 準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
  - 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
    aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
    Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - Noether 局所環が Artin になる条件✓系 6.5・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  - Noether 環の極小素イデアル✓系 3.4・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理
  - 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大

これを使っている定理証明で参照している 3 件

CM 環は鎖状✓定理 4.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
一般高さ定理の逆✓命題 4.5・Krull 次元と単項イデアル定理
多項式環の次元✓定理 6.2・Krull 次元と単項イデアル定理

Noether 環の素イデアルの高さは有限

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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