数学 › 可換環論 › Krull 次元と単項イデアル定理
一般高さ定理（Krull）
を Noether 環、 を 個の元で生成される真のイデアルとし、 を の極小素イデアルとする。このとき である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 68 件、定義なども含めて 80 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトル
- 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- 商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
- イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
- 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
- 記号的冪の性質✓命題 6.2・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
- 準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
- aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
- Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- Noether 局所環が Artin になる条件✓系 6.5・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理
局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
- 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- Noether 環の極小素イデアル✓系 3.4・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理
- 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
- Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
- 準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
これを使っている定理 証明で参照している 5 件
- 非特異性と Ω の局所自由性✓定理 7.3・次元・正規性・非特異性と微分の層
- Noether 環の素イデアルの高さは有限✓系 4.4・Krull 次元と単項イデアル定理
- 一般高さ定理の逆✓命題 4.5・Krull 次元と単項イデアル定理
- Noether 局所環の次元✓定理 5.2・Krull 次元と単項イデアル定理
- 多項式環の次元✓定理 6.2・Krull 次元と単項イデアル定理