イデアルの極小素イデアル

補題 2.2（「Krull 次元と単項イデアル定理」§2）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を環、 $I \ne A$ をイデアルとする。

$I$ を含む任意の素イデアルは、 $I$ のある極小素イデアルを含む。とくに $\operatorname{ht} I$ は $I$ の極小素イデアルの高さの最小値に等しい。
$A$ が Noether 環なら、 $I$ の極小素イデアルは有限個である。
$\mathfrak{p}$ を $I$ を含む素イデアルとする。 $\mathfrak{p}$ が $I$ の極小素イデアルであることと、局所環 $A_{\mathfrak{p}}$ において $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ が $IA_{\mathfrak{p}}$ を含むただ一つの素イデアルであることは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 35 件、定義なども含めて 43 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル
- Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 整合的集合の比較可能性✓補題 5.5・選択公理と Zorn の補題
  - 始切片で増える整列集合の合併✓補題 5.4・選択公理と Zorn の補題
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 体は整域✓定理 5.2・環と体の基礎この先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題（上で展開済み）
Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
Noether 環の極小素イデアル✓系 3.4・準素分解と随伴素イデアル
- 随伴素イデアルと台✓定理 3.3・準素分解と随伴素イデアル
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  - 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル（上で展開済み）
  - 随伴素イデアルと局所化✓命題 2.4・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
  - 随伴素イデアルの有限性✓系 3.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
  - 台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 6 件

CM 性の局所化✓命題 3.6・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
高さ 1 の素イデアルによる UFD の判定✓補題 8.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理
一般高さ定理（Krull）✓定理 4.3・Krull 次元と単項イデアル定理
一般高さ定理の逆✓命題 4.5・Krull 次元と単項イデアル定理
体上有限生成代数は鎖状✓系 7.5・Krull 次元と単項イデアル定理

イデアルの極小素イデアル

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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