数学 › 可換環論 › Cohen–Macaulay 環と正則局所環
高さ 1 の素イデアルによる UFD の判定
を Noether 整域とする。 が UFD であることと、 の高さ の素イデアルがすべて単項イデアルであることは同値である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 69 件、定義なども含めて 82 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
- 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
- ネーター環定義 5.1・多項式環と体の拡大
イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理
剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル
- Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
- 極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
Noether 環の極小素イデアル✓系 3.4・準素分解と随伴素イデアル
- 随伴素イデアルと台✓定理 3.3・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
- 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
- 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトル
- 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- 商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
- 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
- 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
- 記号的冪の性質✓命題 6.2・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
- 準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
- aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
- Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
Noether 局所環が Artin になる条件✓系 6.5・Noether 環と Artin 環
- Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
これを使っている定理 証明で参照している 5 件
- UFD と因子類群✓命題 3.3・因子と直線束
- Weil 因子と Cartier 因子の一致✓定理 4.2・因子と直線束
- 互いに素な 2 元は正則列✓補題 2.1・曲面上の交叉理論
- 永田の判定法（素元一つの場合）✓補題 8.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- 正則局所環は UFD（Auslander–Buchsbaum）✓定理 8.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環