数学 › 可換環論 › Cohen–Macaulay 環と正則局所環

永田の判定法（素元一つの場合）

補題 8.2（「Cohen–Macaulay 環と正則局所環」§8） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 74 件、定義なども含めて 88 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 高さ 1 の素イデアルによる UFD の判定✓補題 8.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環

  • 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
  • ネーター環定義 5.1・多項式環と体の拡大
  • イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理

    • 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル

      • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
      • 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
      • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環 この先をたどる →
    • 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル

      • Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
      • 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
      • 極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環 この先をたどる →
      • 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
    • Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環

      • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
      • 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
      • ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
      • ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
      • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
    • Noether 環の極小素イデアル✓系 3.4・準素分解と随伴素イデアル

      • 随伴素イデアルと台✓定理 3.3・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
      • 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
      • 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
    • 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  • Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理

    • Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
    • 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
    • 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
    • イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
    • 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
    • 記号的冪の性質✓命題 6.2・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
    • 準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
    • 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
    • Noether 局所環が Artin になる条件✓系 6.5・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
• 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル

  • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  • 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル

    • 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
    • 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
• 局所環と整域での交叉定理✓系 5.2・完備化と Artin–Rees の補題

  • Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル

    • 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
    • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  • Krull の交叉定理✓定理 5.1・完備化と Artin–Rees の補題

    • Artin–Rees の補題✓定理 4.3・完備化と Artin–Rees の補題 この先をたどる →
    • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    • 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
    • aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
  • 根基・冪零根基・Jacobson 根基・被約環定義 2.2・局所化と素イデアルのスペクトル
  • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• 正則局所環は UFD（Auslander–Buchsbaum）✓定理 8.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環