根基・冪零根基・Jacobson 根基・被約環

$A$ を環、$\mathfrak{a}$ をそのイデアルとする。

1. $\sqrt{\mathfrak{a}} = \{ x \in A : \text{ある } n \ge 1 \text{ で } x^n \in \mathfrak{a} \}$ を $\mathfrak{a}$ の根基という。$\sqrt{\mathfrak{a}} = \mathfrak{a}$ のとき $\mathfrak{a}$ を根基イデアルという。
2. $\operatorname{nil}(A) = \sqrt{(0)}$、すなわち冪零元全体を $A$ の冪零根基という。$\operatorname{nil}(A) = 0$ のとき $A$ を被約であるという。
3. $A$ のすべての極大イデアルの共通部分を $A$ の Jacobson 根基といい、$\operatorname{Jac}(A)$ と書く（零環では $\operatorname{Jac}(A) = A$ とする）。