Krull 次元・高さ・余高さ

$A \ne 0$ を環とする。

1. $A$ の素イデアルの列 $\mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_r$ を、長さ $r$ の素イデアルの鎖という。素イデアルの鎖の長さの上限 $\dim A \in \{0, 1, 2, \ldots\} \cup \{\infty\}$ を $A$ の Krull 次元（または単に次元）という。
2. 素イデアル $\mathfrak{p}$ について、$\mathfrak{p}_r = \mathfrak{p}$ となる鎖の長さの上限を $\mathfrak{p}$ の高さといい $\operatorname{ht}\mathfrak{p}$ と書く。$\mathfrak{p}_0 = \mathfrak{p}$ となる鎖の長さの上限を $\mathfrak{p}$ の余高さという。
3. $I \ne A$ をイデアルとする。$I$ を含む素イデアルのうち包含に関して極小なものを、$I$ の極小素イデアルという。$I$ の高さを $\operatorname{ht} I = \min\{\operatorname{ht}\mathfrak{p} : \mathfrak{p} \supseteq I \text{ は素イデアル}\}$ と定める。