数学 › 可換環論 › Tor・Ext と深さ

深さと次元

命題 7.9（「Tor・Ext と深さ」§7） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 51 件、定義なども含めて 61 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
• 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題

  • aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題

    • 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題

      • 多項式環からの代入✓補題 3.1・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
      • 可換環上の余因子行列の恒等式✓補題 3.2・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
  • Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル

    • 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題

      • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
      • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
• 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル

  • 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  • 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
• 随伴素イデアルと完全列✓命題 2.3・準素分解と随伴素イデアル

  • 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環

    • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    • 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環

      • 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
      • 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
• 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル

  • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環

    • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環

      • 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
    • 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    • 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  • 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環

    • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    • 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
    • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
• Krull 次元・高さ・余高さ定義 2.1・Krull 次元と単項イデアル定理
• 深さの基本性質✓系 7.6・Tor・Ext と深さ

  • 正則列の基本性質✓補題 7.3・Tor・Ext と深さ

    • ネーター環定義 5.1・多項式環と体の拡大
    • 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル（上で展開済み）
    • 随伴素イデアルの有限性✓系 3.2・準素分解と随伴素イデアル

      • 素フィルトレーション✓定理 3.1・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
    • 素イデアル回避✓補題 2.9・局所化と素イデアルのスペクトル
  • Tor・Ext の基本性質✓命題 4.3・Tor・Ext と深さ

    • テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
    • Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
    • 平坦加群とのテンソルは核・像・ホモロジーと交換する✓補題 4.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
    • 入射加群と可除加群定義 3.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    • Tor・Ext は分解によらない✓系 4.2・Tor・Ext と深さ この先をたどる →
    • テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
  • 深さと Ext（Rees の定理）✓定理 7.4・Tor・Ext と深さ

    • 正則列の基本性質✓補題 7.3・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
    • Tor・Ext の基本性質✓命題 4.3・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
    • Tor・Ext の長完全列✓定理 4.5・Tor・Ext と深さ この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

• Cohen–Macaulay 性とコホモロジーの消滅✓補題 6.3・Ext 層と Serre 双対
• CM 局所環の随伴素イデアル✓補題 3.3・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
• パラメータ系と正則列✓定理 3.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
• 非混合定理✓定理 3.7・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
• CM 環上の多項式環✓定理 4.3・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
• パラメータイデアルの重複度と CM 性✓定理 5.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環

関連するノック 2 問

• 可換環論 第 84 問
• 可換環論 第 89 問