正則列の基本性質

補題 7.3（「Tor・Ext と深さ」§7）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を Noether 環、 $M$ を有限生成 $A$ 加群、 $I$ を $IM \ne M$ を満たすイデアルとする。

$I$ の中の $M$ 正則列は、有限回の付け足しで極大な $M$ 正則列に延ばせる。
次は同値である: (a) $I$ のどの元も $M$ の零因子である（長さ $1$ の $M$ 正則列が $I$ の中にない）。(b) $\operatorname{Hom}(A/I, M) \ne 0$ 。(c) ある $\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}(M)$ について $I \subseteq \mathfrak{p}$ 。
$x_1, \ldots, x_r$ が $I$ の中の $M$ 正則列なら、 $x_2, \ldots, x_r$ は $I$ の中の $M/x_1M$ 正則列であり、前者が極大なことと後者が極大なことは同値である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 14 件、定義なども含めて 19 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ネーター環定義 5.1・多項式環と体の拡大
随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル
- 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
随伴素イデアルの有限性✓系 3.2・準素分解と随伴素イデアル
- 素フィルトレーション✓定理 3.1・準素分解と随伴素イデアル
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
  - 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル（上で展開済み）
  - 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環
    加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
  - 随伴素イデアルと完全列✓命題 2.3・準素分解と随伴素イデアル
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題
    局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
    素スペクトルと Zariski 位相定義 4.1・局所化と素イデアルのスペクトル
素イデアル回避✓補題 2.9・局所化と素イデアルのスペクトル