数学 › 可換環論 › Cohen–Macaulay 環と正則局所環
整域での (R₁)・(S₂)
を体でない Noether 整域とする。
- が を満たすことと、すべての について が DVR であることは同値である。
- が を満たすことと、 でも単元でもないすべての について であることは同値である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 91 件、定義なども含めて 106 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環
中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題
Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理
- 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- 秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
- Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
- 準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
整閉局所環の極大イデアルの逆✓補題 3.3・離散付値環と Dedekind 環
随伴素イデアルと局所化✓命題 2.4・準素分解と随伴素イデアル
局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
正則列の基本性質✓補題 7.3・Tor・Ext と深さ
- ネーター環定義 5.1・多項式環と体の拡大
随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル
- 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
随伴素イデアルの有限性✓系 3.2・準素分解と随伴素イデアル
- 素フィルトレーション✓定理 3.1・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
- 素イデアル回避✓補題 2.9・局所化と素イデアルのスペクトル
深さの基本性質✓系 7.6・Tor・Ext と深さ
- 正則列の基本性質✓補題 7.3・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
Tor・Ext の基本性質✓命題 4.3・Tor・Ext と深さ
- テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
- Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
- 平坦加群とのテンソルは核・像・ホモロジーと交換する✓補題 4.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
- 入射加群と可除加群定義 3.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Tor・Ext は分解によらない✓系 4.2・Tor・Ext と深さ この先をたどる →
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
深さと Ext（Rees の定理）✓定理 7.4・Tor・Ext と深さ
- 正則列の基本性質✓補題 7.3・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
- Tor・Ext の基本性質✓命題 4.3・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
- Tor・Ext の長完全列✓定理 4.5・Tor・Ext と深さ この先をたどる →
これを使っている定理 証明で参照している 1 件
- Serre の判定法✓定理 9.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環