数学 › 可換環論 › Tor・Ext と深さ

深さと Ext（Rees の定理）

定理 7.4（「Tor・Ext と深さ」§7） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 39 件、定義なども含めて 47 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 正則列の基本性質✓補題 7.3・Tor・Ext と深さ

  • ネーター環定義 5.1・多項式環と体の拡大
  • 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル

    • 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
    • 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
  • 随伴素イデアルの有限性✓系 3.2・準素分解と随伴素イデアル

    • 素フィルトレーション✓定理 3.1・準素分解と随伴素イデアル

      • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
      • 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
      • 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル（上で展開済み）
      • 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
      • 随伴素イデアルと完全列✓命題 2.3・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
      • 台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
  • 素イデアル回避✓補題 2.9・局所化と素イデアルのスペクトル
• Tor・Ext の基本性質✓命題 4.3・Tor・Ext と深さ

  • テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

    • Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
    • Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

      • テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
    • Hom による完全性の判定✓補題 2.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  • Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
  • 平坦加群とのテンソルは核・像・ホモロジーと交換する✓補題 4.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

    • テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  • 入射加群と可除加群定義 3.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  • Tor・Ext は分解によらない✓系 4.2・Tor・Ext と深さ

    • 比較定理✓定理 3.3・Tor・Ext と深さ この先をたどる →
    • ホモトピックな写像はホモロジーで等しい✓補題 2.2・Tor・Ext と深さ
  • テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

    • テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
• Tor・Ext の長完全列✓定理 4.5・Tor・Ext と深さ

  • 平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

    • テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
    • 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
    • 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
    • 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
    • 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
  • ホモロジーの長完全列（加群）✓補題 2.3・Tor・Ext と深さ

    • 蛇の補題✓補題 4.1・加群・完全列・中山の補題
  • Tor・Ext の基本性質✓命題 4.3・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
  • 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

    • Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
    • 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
    • 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
    • 直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
  • 馬蹄補題✓補題 3.4・Tor・Ext と深さ

    • 蛇の補題✓補題 4.1・加群・完全列・中山の補題
    • 直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
  • 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題

    • 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
  • Tor・Ext は分解によらない✓系 4.2・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

• 短完全列と深さ✓補題 2.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
• 深さの基本性質✓系 7.6・Tor・Ext と深さ
• Auslander–Buchsbaum の公式✓定理 9.1・Tor・Ext と深さ

関連するノック 1 問

• 可換環論 第 88 問